巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：原题可以转化为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图像在区间(0,1)内的交点个数问题，可知在区间(0,1)内只有一个交点，正确答案为B.
答案：B
2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：令f(x)＝0，得x＝0或cosx2＝0，因为x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．
由于cos＝0(k∈Z)，故当x2＝，，，，时，cosx2＝0.
所以零点个数为6.
答案：C
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内.
答案：C
4．(2013·顺义月考)已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值( )
A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
解析：根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，函数f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点．若有零点的话，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负，对于0＜x1＜x0，f(x1)的值恒为正值.
答案：A
5．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝ (x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
解析：g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图像交点的横坐标(如图)，由图知g(x)的零点x0满足0＜x0＜.
又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A.
答案：A
6．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：由于f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝e－1＜0，故函数y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
答案：D
二、填空题
7．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．
解析：由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为x＝1，∴b＝－a.
∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)．
由g(x)＝0得x＝0或x＝－1.
答案：0或－1
8．(2013·珠海质检)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是__________．
解析：只需f(1)＝－2p2－3p＋9＞0或f(－1)＝－2p2＋p＋1＞0，即－3＜p＜或－＜p＜1，∴p∈.
答案：
9．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__________．
解析：由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
因为g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；
h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，
故h(x)的零点c∈，因此a＜c＜b.
答案：a＜c＜b
三、解答题
10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0有且仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0，即m＞2，或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有一正一负根，
即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．
∴这种情况不可能．
综上，可知m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
方法二：作出g(x)＝x＋(x＞0)的图像如图所示，
可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.
方法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故
等价于故m≥2e.
(2)方法一：若g(x)－f(x)＝0有两相异的实根，
即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x＞0)的图像．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)的图像有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
方法二：令F(x)＝g(x)－f(x)，
则由已知F(x)＝g(x)－f(x)有两个零点．
又F′(x)＝g′(x)－f′(x)＝1－＋2x－2e
＝
＝，
∵x2＞0恒成立，2x2＋x＋e＞0恒成立，
∴当x＞e时F′(x)＞0，x＜e时F′(x)＜0，故F(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数．
∴F(x)＝g(x)－f(x)在x＝e处取得极小值，
若F(x)＝g(x)－f(x)有两个零点，则f(e)＜0.
即e＋＋e2－2e·e－m＋1＜0，
即m＞－e2＋2e＋1.
12．已知函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2－b.
(1)于是解得
故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
－
单调递增
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；
当x＝2时，f(x)有极小值－.
所以函数的大致图像如图．
故实数k的取值范围是－＜k＜.
【点此下载】