2.9 函数的应用
一、选择题
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )．
解析 设原有荒漠化土地面积为b，由题意可得y＝
b(1＋10.4%)x.
答案 D
2．甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（ ）．
A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2)
（1） （2） （3） （4）
解析 根据题目描述分析图像可知D正确
答案 D
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．
A．10元 B．20元 C．30元 D.元
解析 设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案 A
4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，
由题意，得y＝
如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.
答案 C
6．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为( )
A．5 h B．10 h
C．15 h D．30 h
解析：假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是
f(x＝m·，细菌B的数量是g(x)＝m·，令m·＝2·m·，解得x＝10.
答案：B
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析 由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案 A
二、填空题
8．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．
解析：设售价提高x元，则依题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
答案：190 元
9．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是__________．
解析 根据已知条件：设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
答案 (100,400)
10.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过____min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析 当t=0时，y=a，
当t=8时,y=ae-8b=a，∴e-8b=,
容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=a,
e-bt==(e-8b)3=e-24b,
则t=24,所以再经过16 min.
答案 16
11．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.
设这群鱼是距探测时t年前死亡的，则t满足的等式为________，将t用自然对数的运算式子可以表示为________(只写出运算式子不需要计算出结果，式子中可以出现自然对数、实数之间的四则运算)．
解析 .
答案
12．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：
(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；
(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．
李明家的使用面积为60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．
解析 按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x平方米，则3x≤240，解得x≤80.
答案 80
三、解答题
13.某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.
(1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？
解析：(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费
(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元，当018时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.
(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km.
14．围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知xa＝360，得a＝.
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2 ＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
15．如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积
S＝时，
(1)写出y的表达式；
(2)设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解析 (1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为
|v－c|＋，
故y＝＝(3|v－c|＋10)．
(2)由(1)知，
当0＜v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15；
当c＜v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.
故y＝
①当0＜c≤时，y是关于v的减函数，
故当v＝10时，ymin＝20－.
②当＜c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝.
16．某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)
解析 (1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π.
∵πr2＜10 000，∴0＜r＜.
(2)设运动场的造价为y元，
y＝150×
＋30×
＝300 000＋120×－7 680π.
令f(r)＝＋8πr，
∵f′(r)＝8π－，
当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π
在[30,40]上为减函数．
∴当r＝40时，ymin≈636 510，
即运动场的造价最低为636 510元．
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