课时提能演练(十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·汉中模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋1有一个零点，则实数a的取值为( )
(A)0 (B)1 (C)0或1 (D)以上答案都不对
2.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
4.(2012·淮北模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
(A)x12c>2b.
(1)求证a>0且－3<<－；
(2)求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围.
【探究创新】
(16分)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及(0，)内各有一个零点.求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.验证法：当a＝0时，f(x)＝－2x＋1有一个零点；当a＝1时，f(x)＝(x－1)2也只有一个零点，故选C.
2.【解析】选C.当x<0时，由x(x＋4)＝0，得x＝－4满足题意；当x≥0时，由x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4满足题意，故f(x)有3个零点.
3.【解析】选B.因为f(x)的定义域为x>0，f(1)＝－1＋log21＝－1<0，f(2)＝
－＋log22＝>0.
∴f(1)·f(2)<0，故选B.
4.【解析】选A.由已知x1，x2，x3分别为方程x＋2x＝0，x＋lnx＝0和x－－1＝0的根，亦即2x＝－x，lnx＝－x，－－1＝－x的解，在同一坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lnx，y＝－－1和y＝－x的图像，如图所示，由图像知x1f(x0)＝0.
7. 解析】由题意，得f(x)＝m有3个解，
画出f(x)的图像，如图，
由图知00，
∴f(1)f(2)<0，故a＝1，b＝2符合要求.
又∵f(x)为增函数，当x取大于等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，∴a＝1，b＝2，∴a＋b＝1＋2＝3.
答案：3
10.【解析】①当a＝0时，方程可化为4x＋5＝0，
∴x＝－∈[－2,3]成立，∴a＝0.
②当a≠0时，令f(x)＝ax2＋4x＋5，
若x＝－2时，f(x)＝0，则a＝.
此时另一根为－[－2,3]，成立.
若x＝3时，f(x)＝0，则a＝－，
此时另一根为－∈[－2,3]，舍去.
若x∈(－2,3)，则f(－2)f(3)<0，
∴－2c>2b，
∴3a>0,2b<0， >－3，
<，<－.
∴a>0且－3<<－.
(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①当c>0时，∵a>0，
∴f(0)＝c>0，f(1)＝－<0.
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
②当c≤0时，∵a>0，f(1)＝－<0，f(2)＝a－c>0.
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
故函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点，
(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝＝－－.
∴|x1－x2|＝
＝＝.
∵－3<<－，
∴≤|x1－x2|<，
即|x1－x2|的取值范围为[，).
【探究创新】
【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.
(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1,0)及(0，)内各有一个零点，
只需，即，
解得
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