【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：2.函数
一、选择题
1.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知函数则下列结论正确的是 （ ）
A．在上恰有一个零点 B. 在上恰有两个零点
C．在上恰有一个零点 D．在上恰有两个零点
【答案】C
【KS5U解析】函数的导数为。当时，，此时函数递增。当时，，此时函数递增。因为，所以函数在上没有零点。又，所以函数在时有且只有一个零点，所以选C.
2.．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④当时，，由，可知此时有一个实根。当时，由，得，即，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
3．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是 （ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】由，得，解得或，当时。又，所以，所以 ，所以D错误，选D.
4.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）设函数则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【 解析】，所以，选D
5．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数，则函数的零点所在的区间是 （ ）
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
【答案】B
【解析】函数的导数为，所以。因为，，所以函数的零点所在的区间为.选B.
6．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题是奇函数； 命题在上是增函数；
命题； 命题的图像关于直线对称 （ ）
A．命题 B．命题 C．命题 D．命题
【答案】C
【解析】当时，函数不是奇函数，所以命题不能使三个函数都成立，排除A,D. ①成立；②成立；③成立，所以命题能使三个函数都成立，所以选C.
7．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【KS5U解析】因为，所以，，所以，选D.
二、填空题
8．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是______．
【答案】①③．
【解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，即，所以，恒成立。所以①具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是①③。
9．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷 ）已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】因为函数为你偶函数,所以,且函数在上递增.所以由得,即,所以不等式的解集为.
10．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:
①函数是单函数;
②函数是单函数;
③若为单函数,且,则;
④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.
其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
【答案】③ ①
【解析】若,则由得,即,解得,所以①不是单函数.②若则由函数图象可知当,时,,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
11．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【 解析】因为奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减。由得，所以由，得，所以，即实数的取值范围是。
12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）对任意两个实数，定义若，，则的最小值为 ．
【答案】
【 解析】因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。
13．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
【答案】①③
【解析】①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③
三、解答题
14．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数.
(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；
(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ) 当时，，解 …2分
得
所以函数的不动点为 ……3分
（Ⅱ）因为 对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，
所以 对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根，
即方程恒有两个不相等的实数根， ………4分
所以 ………5分
即 对于任意实数，
所以 ……………………7分
解得 …………………8分
（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为，则
且是的两个不等实根， 所以
直线的斜率为1，线段中点坐标为
因为 直线是线段的垂直平分线，
所以 ，且在直线上
则 ……………………10分
所以 当且仅当时等号成立
…………………12分
又 所以 实数的取值范围. ……
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