一、选择题
1.＝( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] A
[点拨] 原式＝＝＝，故选A.
2．log23·log3m＝，则m＝( )
A．2 B.
C．4 D．1
[答案] B
[解析] log23·log3m＝log2m＝
∴m＝2＝，故选B.
3．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] log23·log34·log45·log56·log67·log78＝×××××＝＝3，故选C.
4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
[答案] A
[解析] x＝log2.51000，y＝log0.251000，
∴＝log10002.5，＝log10000.25，
∴－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝，故选A.
5．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] log512＝＝＝，故选C.
6．设，则x∈( )
A．(－2，－1) B．(1,2)
C．(－3，－2) D．(2,3)
[答案] D
[解析]
＝log310∈(2,3)，故选D.
7．设a、b、c∈(0，＋∞)，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
[答案] B
[解析] 设3a＝4b＝6c＝m，
∴a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m，
∴＝logm3，＝logm4，＝logm6，
又∵logm6＝logm3＋logm2，＝＋，即
＝＋，故选B.
8．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b ，则logab＋logba等于( )
A．1 B．－2
C．－ D．－4
[答案] C
[解析] 由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3，
那么logab＋logba＝＋＝
＝＝＝－，故选C.
二、填空题
9．log2＋log927＋4log413＝________.
[答案] 15
[解析] 原式＝＋log3233＋13＝15.
10．log43·log＝________.
[答案] －
[解析] 原式＝log43·(－log332)＝－×log432＝－×log2225＝－×＝－.
11．lg9＝a,10b＝5，用a、b表示log3645为________．
[答案]
[解析] 由已知b＝lg5，则log3645＝＝＝＝＝.
12．(山东淄博2012～2013高一期中试题)设3x＝4y＝36，则＋＝________.
[答案] 1
[解析] 由3x＝4y＝36得x＝log36，y＝log436，＋＝＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364＝log3636＝1.
三、解答题
13．(瓮安二中2012～2013学年度第一学期高一年级期末考试数学科卷)求下列各式的值：
(1)log427·log258·log95；
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解析] (1)原式＝··
＝··
＝
(2)解法一：原式＝log43·log32＋log83·log32＋log43·log92＋log83·log92
＝log223·log32＋log233·log32＋log223·log322＋log233·log322
＝log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＝＋＋＋＝.
解法二：原式＝(log223＋log233)·(log32＋log322)
＝(log23＋log23)(log32＋log32)
＝log23×log32＝.
14．计算：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)×log9.
[分析] 此题是不同底数的对数运算，也需用换底公式进行化简求值．
[解析] 原式＝(log23＋＋＋…＋)×log9
＝(log23＋log23＋log23＋…＋log23)×log9
＝n×log23××log32＝.
[点评] (1)应用换底公式时，究竟换成以什么为底？
①一般全都换成以10为底的对数．
②根据情况找一个底数或真数的因子作为底．
(2)直接利用换底公式的下面几个推论，加快解题速度．
logab＝，loganbm＝logab，loganbn＝logab.
15．某化工厂生产化工产品，去年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，精确到1年)?
[分析] 设x年后每桶的生产成本为20元，由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式，解出x.
[解析] 设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，
x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.
所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得
xlg0.72＝lg0.4.
故x＝＝＝
＝
≈＝≈3(年)．
所以，3年后每桶的生产成本为20元．
16．设3x＝4y＝6x＝t>1，求证：－＝.
[分析] 对数与指数的底数都不相同时，首先用换底公式将底数化为相同．
[解析] 证法一：∵3x＝4y＝6z＝t>1，
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
证法二：∵3x＝4y＝6z＝t>1，
两边同时取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，
∴－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝.
[点评] 化为同底与指对互化是解决指数、对数求值问题的常用策略．运用换底公式时，要注意选取合适的底数，以达到简化运算的作用．
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