一、选择题
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案] C
[解析] 设y＝2＋t，t＝log2x(x≥1)
∵t＝log2x在[1，＋∞)上是单调增函数，
∴t≥log21＝0.∴y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
2．已知f(x)＝log3x，则f()，f()，f(2)的大小是( )
A．f()>f()>f(2)
B．f()f(2)>f()
D．f(2)>f()>f()
[答案] B
[解析] 由函数y＝log3x的图象知，图象呈上升趋势，即随x的增大，函数值y在增大，故f()1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)
[答案] C
[解析] 当x≥2时，f(x)＝log2(x－1)，
∴f(x0)＝log2(x0－1)>1，
∴∴x0>3.
当x<2时，f(x0)＝()x0－1.由f(x0)>1，即()x0－1>1，得x0<－1.
8．(2012～2013山东梁山中学期中试题)若y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(1，＋∞)
[答案] B
[解析] 解法一：逐项验证法：因为a≠1，所以排除C；当a∈(0,1)时，y是真数t(t＝2－ax)的减函数，t是x的减函数，则y是x的增函数，不合题意，排除A项；取a＝2，则当x＝1时，2－ax＝0不合题意，排除D.故选B.
解法二：因为2－ax>0在x∈[0,1]上恒成立，又a>0，所以x<，所以>1，a<2.当01.综上可知，10得x>5或x<1，
因此y＝log2(x2－6x＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞)，
设y＝log2t，t＝x2－6x＋5，
∵x>5或x<1，∴t>0，∴y∈(－∞，＋∞)，
因此y＝log2(x2－6x＋5)的值域为R.
由复合函数性质得增区间为(5，＋∞)，
减区间为(－∞，1)．
14．(2012～2013湖北荆州统考题)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，求a的值．
[解析] 因为y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同(a＞1时同为单调递增函数，0＜a＜1时同为单调递减函数，故其最大值与最小值同在区间端点取得．)
∴f(0)＋f(1)＝a，即(a0＋loga1)＋[a1＋loga(1＋1)]＝a，
化简得1＋0＋a＋loga2＝a，即loga2＝－1，解得a＝.
[规律总结] 本例关键是将题设条件转化为f(0)＋f(1)＝a，否则无法解题，但是判断出f(0)＋f(1)＝a的理论依据要清楚．
15．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
[解析] (1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝log(－x)，
又f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
，或，
解得x≥或－4≤x<0.
16．已知函数y＝(log2x－2)(log4x－)，2≤x≤8.
(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解析] (1)y＝(log2x－2)(log4x－)
＝(log2x－2)(log2x－)，
令t＝log2x，得
y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，
又2≤x≤8，
∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝(t－)2－，
1≤t≤3，结合数轴可得，
当t＝时，ymin＝－；
当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1，
即函数的值域为[－，1]．
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