一、选择题
1．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
[答案] A
[解析] y＝2x是指数函数，不是幂函数．
2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
[答案] D
3．若幂函数y＝xn，对于给定的有理数n，其定义域与值域相同，则此幂函数( )
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定不是奇函数 D．一定不是偶函数
[答案] D
[解析] 由y＝x知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数，故能排除A、B；又y＝x3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C.
4．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，那么( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
[答案] B
[解析] 幂函数y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2中，系数m2－3m＋3＝1，∴m＝2,1.又∵y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2的图象不过原点，故m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，故m＝2或1.
5.
函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则实数a、b、c的大小关系为( )
A．cc>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] 对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故()<()，即b()，即a>c，∴a>c>b，故选A.
8．(2012～2013山东省临沂市临球县实验中学高一教学阶段性测试题)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) ) D.(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 设f(x)＝xα，代入(2,4)得x＝2，f(x)＝x2，
∴f(x)＝x2在(0，＋∞)为增函数，故选C.
二、填空题
9．(2012～2013湖南益阳模拟)已知幂函数y＝f(x)过点(3，)，则f()＝________.
[答案] 8
[解析] 设幂函数为y＝xα，将点(3，)代入，得＝3α，则α＝－，所以f()＝()＝8.
10．若函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数 ，且是偶函数，则m＝________.
[答案] －1
[解析] 由题意，知m2－m－1＝1，
解得m＝2，或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－1＝－1，函数为y＝x－1，不是偶函数；
当m＝－1时，m2－2m－1＝2，函数为y＝x2，是偶函数，满足题意．
11．设f(x)＝(m－1)xm2－2，如果f(x)是正比例函数，那么m＝________；如果f(x)是反比例函数，那么m＝________；如果f(x)是幂函数，那么m＝________.
[答案] ± －1 2
[解析] 若f(x)是正比例函数，则即m＝±；若f(x)是反比例函数，则即m＝－1；若f(x)是幂函数，则m－1＝1，即m＝2.
12．(2012～2013海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．
①y＝x；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x.
[答案] ③
[解析] ①中函数y＝x不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x是奇函数．故填③.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时．
(1)f(x)是正比例函数；
(2)f(x)是反比例函数；
(3)f(x)是二次函数；
(4)f(x)是幂函数．
[解析] (1)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(2)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m＝－，即m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
(4)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即时m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
14．已知函数y＝xn2－2n－3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
[解析] 因为图象与y轴无公共点，所以n2－2n－3≤0，又图象关于y轴对称，则n2－2n－3为偶数，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3
当n＝0或n＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．
当n＝－1或n＝3时，有y＝x0，其图象如图A.
当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B.
∴n的取值集合为{－1,1,3}．
15．已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
[解析] 依题意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1f(x＋3)可转化为x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
16．(2012～2013温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－12对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
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