【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】2：函数
．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数,则 （ ）
A． B． C． D．
B
因为，所以，选B.
．（2013届北京大兴区一模文科）设,则 （ ）
A． (B )
C． D．
A
，，，所以，选A.
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
B
由题意知，因为，所以，。因为，所以当时，，此时解得，生成点为。当时，，此时解得，生成点为。所以函数的“生成点”共有2个，选B.
．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数的两个零点为,则实数的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
A
，所以，且是函数的两个零点，所以，选A.
．（2013届北京东城区一模数学文科）已知定义在上的函数的对称轴为,且当时,.若函数在区间()上有零点,则的值为 （ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
A
当时，由，解得，因为，即函数的零点所在的区间为，所以。又函数关于对称，所以另外一个零点在区间，此时，所以选A.
．（2013届北京丰台区一模文科）如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 ,那么正确的选项是 （ ）
A．y=f(x)是区间(0,)上的减函数,且x+y
B．y=f(x)是区间(1,)上的增函数,且x+y
C．y=f(x)是区间(1,)上的减函数,且x+y
D．y=f(x)是区间(1,)上的减函数,且x+y
C
由，得，因为，解得．由：得．则函数在上单调递减，所以选C.
．（2013届北京海淀一模文）已知,下列函数中,在区间上一定是减函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
B
当时，则函数的斜率大于0，在定义域R上为增函数，不满足条件。对于函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以该函数在区间上一定是减函数；对于函数，当时，该函数在R上为减函数，当时，函数在R上为增函数；对于函数，当时，函数在R上为减函数，当时，函数在R上为增函数；
故满足，在区间上一定是减函数的是．故选B．
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）如果的定义域为R,,若,,则等于 （ ）
A．1 B．lg3-lg2
C．-1 D．lg2-lg3
A
因为，所以，选A.
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知函数的图象与直线恰有三个公共点,则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
A
因为直线过定点。作出函数的图象如图，，要使函数与直线恰有三个公共点，则，因为，所以实数的取值范围是，即，所以选A.
．（2013届北京市石景山区一模数学文）若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．
已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A． 0 B． 1 C．2 D． 3
C
根据题意：当时，，则，若函数为奇函数，可有。则函数的图象关于原点对称的函数是。由题意知，作出函数（x＞0）的图象，看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数，如图观察图象可得：它们的交点个数是2．
即的“友好点对”有2个．选C.
．（2013届北京丰台区一模文科）已知实数若方程有且仅有两个不等实根,且较大实根大于2,则实数的取值范围是________.
根据题意，作出函数的图象，发现：当x＞1时，函数的图象是由的图象向上下平移单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而的图象是抛物线的一部分；各段图象如图．若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则有： ,解得，即，所以实数的取值范围是。
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
由得函数的周期是2.由得，设，作出函数的图象，如图，要使方程恰有三个不相等的实数根，则直线的斜率满足，由题意可知，，所以，所以，即。
．（2013届北京海淀一模文）已知函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_____.
由题意可得函数的图象与轴有三个不同的交点，如图所示：
等价于当时，方程有一个根，且时，方程有两个根，
即解得．
故实数a的取值范围是．
．（2013届北京海淀一模文）已知函数,任取,定义集合: ,点,满足. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则
(1) 若函数,则=______;
(2)若函数,则的最小正周期为______.
2,2
（1）若函数，则点P（t，t），Q（x，x），根据，求得
，即Mt =1+t，mt =1﹣t，由此可得．
（2）若函数，此时，函数的最小正周期为，点P，Q 如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，，， ．当点P在曲线上从A接近B时，逐渐增大，当点P在B点时，，，．当点P在曲线上从B接近C时，逐渐见减小，当点P在C点时，，，．当点P在曲线上从C接近D时，逐渐增大，当点P在D点时，，，．
当点P在曲线上从D接近E时，逐渐见减小，当点P在E点时，，，，…依此类推，发现的最小正周期为2，
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）在给定的函数中:① ;②;③;④,既是奇函数又在定义域内为减函数的是_____________.
①
① 满足条件；②不是奇函数；③是奇函数，但不单调；④为函数，但不单调.
．（2013届北京大兴区一模文科）已知函数 在区间上的最大值是1,则的取值范围是
.
当时，由得。当时，由得，。，所以由图象可知，，即。
．（2013届北京西城区一模文科）已知函数 则______.
。
．（2013届房山区一模文科数学）某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是日销售量与时间的函数关系是.则这种商品的日销售额的最大值为____.
解：由已知销售价，销售量
∴日销售额为，即当0≤t＜40时，
此函数的对称轴为，又t∈N，最大值为；当40≤t≤100时，，此时函数的对称轴为，最大值为．
综上，这种商品日销售额的最大值为。
．（2013届房山区一模文科数学）已知函数的定义域是D,若对于任意,当时,都有,则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数,且满足以下三个条件:①; ②; ③.则____,____.
令，则，，所以，。。因为，所以根据根据非减函数的定义可知，函数在区间上的函数值都等于。因为，因为，所以，所以。
．（2013届北京市石景山区一模数学文）函数 为偶函数，则实数 ．
2
，因为函数为偶函数，所以，即，所以
．（2013届北京市延庆县一模数学文）是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:
(1)对任意,都有 ;
(2)存在常数,使得对任意的,都有
.
(Ⅰ)设,证明:;
(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的.
【解】:(Ⅰ)对任意,,
,,所以
对任意的,
,
,
所以0<,
令=,,
所以
(Ⅱ)反证法:设存在两个使得,则
由,得,所以,矛盾,故结论成立
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