《导数及其应用》训练题
一、选择题（每小题5分, 共50分）
1．设函数可导，则等于（ ）．
A． B． C． D．以上都不对
２．已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（ ）．[来源: ]
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
３．若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（ ）．
A． B． C． D．或0
４．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
５．设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可
能的是（ ）．
６．函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
７．已知函数的图像与轴切于点，则的极大值、极小值分别为（ ）．
A． ，0 B．0， C． ，0 D．0，
8．由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（ ）．
A. B. C. D.
9．函数在内有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
10．的图像与直线相切，则的值为（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．由定积分的几何意义可知=___________．
12．函数的单调递增区间是 ．
13．已知函数，若在区间内恒成立，则实数的范围为_______________．
14．设函数的导数为，则数列的前项和是______________．
三、解答题（共6题，共80分）
15. （本题12分）
求经过点且与曲线相切的直线方程.
16．（本题12分）[来源: ]
已知，求证：．
17．（本题14分）
已知函数，
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
18．（本题1４分）
已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若方程的解集恰有3个元素，求的取值范围．
19．（本题1４分）
某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;
(Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本题14分）
设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 9．A 10．B
二、填空题[来源: ]
11．． 12．． 13．． 14．．
三、解答题
15．解：∵点不在曲线上，∴设切点为，
∵，∴，∴所求切线方程为．
∵点在切线上，∴（①），
又在曲线上，∴（②），
联立①、②解得，，故所求直线方程为．
16．证明：设（），∵（），∴，∴在是增函数，又，即．
∴，即（）．
17．解：（Ⅰ），令，解得或，所以函数的单调递减区间为．
（Ⅱ）因为，，
所以．∵时，，∴在上单调递增．
又在上单调递减，所以和分别是在区间上的最大值和最小值．
于是有，解得．故，
所以，即函数在区间上的最小值为．
18．解：（Ⅰ），依题意是方程的解，∴．（Ⅱ）由有三个相异实根，故方程有两个相异的非零实根．
∴，∴．
19．解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有
又由已知条件，,于是有,
所以，
(Ⅱ)根据（Ⅰ），我们有．
［0，2］
2
（2，12）
12
（12，30）
-
0
+
0
-
单调递减
极小
单调递增
极大[来源: .Com]
单调递减
故时，达到极大值，因为、，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大.
20．解: （Ⅰ） ，由于函数在时取得极值，所以 ， 即 ．
（Ⅱ）方法一：由题设知：对任意都成立， 即对任意都成立．
设 , 则对任意，为单调递增函数．
所以对任意，恒成立的充分必要条件是．
即 ， 于是的取值范围是．
方法二：由题设知：对任意都成立
即对任意都成立．
于是对任意都成立，即． ．
于是的取值范围是．
【点此下载】