第一章 计数原理 综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知C－C＝C(n∈N*)，则n等于( )
A．14 B．12
C．13 D．15
[答案] A
[解析] 因为C＋C＝C，所以C＝C.
∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A.
2．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．(2x)5
[答案] D
[解析] f(x)＝C(2x＋1)5(－1)0＋C(2x＋1)4(－1)1＋C(2x＋1)3·(－1)2＋C(2x＋1)2(－1)3＋C(2x＋1)－1·(－1)4＋C(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5.
3．(2010·济南高二期末)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
[答案] C
[解析] 本题主要考查排列组合的知识．[来源: ]
不同分法的种数为CA－A＝30.
4．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于( )
A．5 B．3
C．4 D．7
[答案] C
[解析] 令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
[答案] A
[解析] 由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C＝10(种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法数共有20种，故选A.
6．(2010·全国Ⅱ理，6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
[答案] B
[解析] 把标号为1,2的卡片作为一个整体，放入同一信封有C种放法，然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，所以共有CCC＝18种方法．
7．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] A
[解析] 由题意可用排除法，设有女生x人，则有男生6－x人，于是有C－C＝16，即(6－x)(5－x)(4－x)＝24，将各选项逐个代入验证可得x＝2.
8．(2009·陕西·理9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A．300 B．216
C．180 D．162
[答案] C
[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识．
由题意知可分为两类，
(1)选“0”，共有CCCA＝108，
(2)不选“0”，共有CA＝72，
∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C.
9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )
A．252种 B．112种
C．20种 D．56种
[答案] B
[解析] 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定．
∴有C＋C＋C＋C＝112种．
10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的的子集共有( )
A．10个 B．16个
C．20个 D．32个
[答案] D
[解析] (1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)．CCCCC＝32.
11．(2010·全国Ⅰ理，6)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
[答案] A
[解析] 可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30种．
12．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )
A．66条 B．72条
C．74条 D．78条
[答案] B
[解析] 先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．[来源:]
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
[答案] 11
[解析] 因为good有两个相同字母，所以可能出现错误为A－3AA－1＝11种．
14．(21010·四川理，13)6的展开式中的第四项是________．
[答案] －
[解析] 6的展开式中第4项为
T4＝C23·3＝－.
15．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．
[答案] 24
[解析] 由六棱锥图形分析可知，一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线，故完成这件事分两步：第一步从六条侧棱中任取一条，有六种方法；第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条，有四种方法．根据乘法原理，有6×4＝24(对)．
16． (2010·江西文，14)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)
[答案] 90种
[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：·A＝90种．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：6，求展开式中的第7项．[来源: ]
[解析] T7＝C()n－66，
Tn－7＋2＝Tn－5＝C()6n－6.
由＝，化简得6－4＝6－1，所以－4＝－1，所以n＝9.所以T7＝C×()9－6×6＝C×2×＝.
[点评] (1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项．
(2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程，解出n，这是解本题的关键．
18．(本题满分12分)已知A＝{x|1
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