选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例
一、选择题
1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.R D.R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当时，S′>0.
因此当底边长为时，其表面积最小．
3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
[答案] D
[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x.
所以总利润为P＝R－C
＝
∴P′＝
令P′＝0，得x＝300，
当00，当3000；当10，当R0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，[来源: ]
x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
7．内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对[来源: ]
[答案] B
[解析] 设矩形一边的长为x，
则另一边长为2，[来源: ]
则l＝2x＋4(00；当R0；当0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
二、填空题
11．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
[答案] 32m,16m
[解析] 设长，宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b，∴l＝2b＋，∴l′＝2－，
令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32.
即当长、宽分别为32m、16m时最省材料．
12．容积为256L的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．
[答案] 4
[解析] 设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，其面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
当08时，S′>0；当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.
13．内接于半径为R的球，且体积最大的圆柱的高为____________．
[答案] R
[解析] 如图，ABCD为球面内接圆柱的轴截面，BD＝2R，设圆柱的高为x，则圆柱底面半径为r＝，
圆柱体积V＝πr2x＝(4R2－x2)x(00；当0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9，
故需新建9个桥墩才能使y最小．
17．(2010·湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析] (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝6－，
令f ′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.[来源: ]
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
18．(2009·山东理，21)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数；
(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点对城A的距离；若不存在，说明理由．
[解析] (1)根据题意∠ACB＝90°，AC＝xkm，BC＝km，
且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，
因此，总影响度y为y＝＋(0
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