课时提升作业(六)
一、选择题[
1.(2013·九江模拟)在下列函数中,图像关于原点对称的是( )
(A)y=xsinx (B)y=
(C)y=xlnx (D)y=x3+sinx
2.(2013·西安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为
( )
(A)(1,+∞) (B)(0,+∞)
(C)(-∞,0) (D)(-∞,1)
3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
( )
(A)f(x)+|g(x)|是偶函数
(B)f(x)-|g(x)|是奇函数
(C)|f(x)|+g(x)是偶函数
(D)|f(x)|-g(x)是奇函数
4.已知f(x)是周期为2的奇函数,当00
(C)是递减的,且f(x)<0
(D)是递减的,且f(x)>0
9.(2013·咸阳模拟)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3-x),当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)等于( )
(A)2x+6 (B)-2x-6 (C)2x-6 (D)-2x+6
10.(能力挑战题)设f(x)是连续的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增加的或减少的,则满足f(x)=f()的所有x之和为( )
(A)-3 (B)3 (C)-8 (D)8
二、填空题
11.函数f(x)=为奇函数,则a= .
12.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5))
= .
13.(2012·上海高考)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,则g(-1)= .
14.(能力挑战题)函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:
①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关于直线x=1对称;
②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称;
③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;
④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图像关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是 .
三、解答题
15.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
答案解析
1.【解析】选D.对于A,B,函数是偶函数,
对于C,函数既不是奇函数,也不是偶函数,
对于D,函数是奇函数,因而图像关于原点对称.
2.【解析】选D.由题意知,函数f(x)在R上是减函数且f(0)=0,从而f(1-x)<0可转化为1-x>0,
∴x<1.
3.【解析】选A.∵g(x)是R上的奇函数,∴|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数.
4.【解析】选A.a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,
b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,
c=f()=f()=lg,
∵2>>,∴lg2>lg>lg,
∴b>a>c.
5.【解析】选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.
6.【解析】选C.当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x-1=-(1-2-x)=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-2x=-(2x-1)=-f(x);当x=0时,f(x)=0.综上知f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数,且f(x)是增函数,故选C.
7.【解析】选D.由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,且f(-1)=f(1).由f(-1)1,∴010.
8.【思路点拨】根据f(x)是周期为2的偶函数,把x∈(1,2)转化到2-x∈(0,1)上,再利用f(2-x)=f(x)求解.
【解析】选D.由题意得当x∈(1,2)时,0<2-x<1,0lo1=0,则可知当f(x)在(1,2)上是递减的.
9.【解析】选D.由函数f(x)是奇函数知
f(3+x)=-f(x-3),
∴f(x+6)=-f(x).
设x∈(-6,-3),则x+6∈(0,3),
∴f(x+6)=-f(x)=2x+6,
∴f(x)=-2x+6.
10.【解析】选C.因为f(x)是连续的偶函数,f(x)在(0,+∞)上是增加的或减少的,由偶函数的性质可知若f(x)=f(),只有两种情况:①x=;②x+=0,
由①知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3,
由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.
因此满足条件的所有x之和为-8.
11.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,
∴a=-1.
答案:-1
12.【解析】∵f(x+2)=,
∴f(x+4)==f(x),
∴f(5)=f(1)=-5,
∴f(f(5))=f(-5)=f(3)==-.
答案:-
13.【思路点拨】先根据g(1)求f(1),从而f(-1)可求,再求g(-1).
【解析】由g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,
得f(1)=g(1)-2=-1.
∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=1,
∴g(-1)=f(-1)+2=1+2=3.
答案:3
14.【解析】对于①,y=f(x+1)的图像由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图像,由y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关于直线x=0对称,故①错;
对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;
对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.
对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.
答案:②③④
【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图像的对称关系.
【变式备选】设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),下面关于f(x)的判定:其中正确命题的序号为 .
①f(4)=0;
②f(x)是以4为周期的函数;
③f(x)的图像关于x=1对称;
④f(x)的图像关于x=2对称.
【解析】∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4),
即f(x)的周期为4,②正确.[
∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数),即①正确.
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴f(x)的图像关于x=1对称,∴③正确,
又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时,显然f(x)的图像不关于x=2对称,∴④错误.
答案:①②③
15.【解析】(1)f(x)=
要使函数f(x)有最小值,需∴-2≤a≤2,
即当a∈[-2,2]时,f(x)有最小值.
(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数,∴g(0)=0,
设x>0,则-x<0,
∴g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
∴g(x)=
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