高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(六十) 二项式定理
1．(2012·北京东城模拟)4的展开式中的常数项为( )
A．－24 B．－6
C．6 D．24
2．(2013·东城模拟)(x－y)8的展开式中，x6y2项的系数是( )
A．56 B．－56
C．28 D．－28
3．(2012·皖南八校联考)(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3
C．2 D．0
4．(2012·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
5．(2012·安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
6．(2012·郑州模拟)在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )
A．32 B．－32
C．0 D．1
7．(2012·北京朝阳二模)二项式5的展开式中的常数项为5，则实数a＝________.
8．(2012·大纲全国卷)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
9．(2013·深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式6展开式的常数项，则a3a7＝________.
10．若n的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项．
11．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
12．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
1．(2012·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.
2．(2012·北京海淀二模)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．
3．求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；
(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(六十)
A级
1．选D Tr＋1＝C(2x)4－rr＝(－1)r24－rCx4－2r，
令4－2r＝0，得r＝2，常数项为T3＝(－1)222C＝24.
2．选A 由二项式定理通项公式得，所求系数为C(－)2＝56.
3．选A 常数项为C×22×C＝4，x7系数为C×C(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.
4．选C Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6，12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
5．选D 二项式5的展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)5的展开式的常数项是5－2＝3.
6．选C 依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于5＝0.
7．解析：Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝a5－rCx10－为常数项，则10－＝0，解得r＝4.
此时aC＝5，得a＝1.
答案：1
8．解析：由C＝C可知n＝8，所以8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r, 当8－2r＝－2时，r＝5，所以的系数为C＝56.
答案：56
9．解析：6的展开式的通项是Tr＋1＝C·()6－r·r＝C·r·x3－.令3－＝0得r＝2，因此6的展开式中的常数式是C·2＝，即有a5＝，a3a7＝(a5)2＝2＝.
答案：
10．解：令x＝1，则22n＝1 024，解得n＝5.
Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r ·x，
含x的整数次幂即使为整数，
r＝0、r＝2、r＝4，有3项，
即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.
11．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．
12．解：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.
∴n＝8或n＝1(舍)．
(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，r＝0,1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项系数为2·C＝7.
(3)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为4·C＝.
B级
1．解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
答案：10
2．解析：∵(x＋1)10＝(1＋x)10＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cx10，
∴a1＝C，a2＝C，a3＝C，…，a6＝C，…，a11＝C，要使a1，a2，a3…，ak是一个递增数列，只需2≤k≤6，∴k的最大值是6.
答案：6
3．证明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9
＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9
＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9
＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9
＝9×82(8n－2＋C·8n－3＋…＋C)＋64n
＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]．
∴32n＋2－8n－9能被64整除．
(2)因为n∈N*，且n＞2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1＞2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
故3n＞(n＋2)·2n－1.
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