易失分点清零(十五) 推理证明、算法、复数
1.复数2＝ ( )．
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2＝2＝2＝(1－2i)2＝－3－4i.
答案 A
2．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|，③a2中正确的不等式的序号是 ( )．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析 由条件<<0可得b100.结束循环，输出的k＝5.
答案 B
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝ ( )．
A. B. C．1 D．2
答案 A
5．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )．
A. B.
C.＋ D.－
答案 D
6．(2013·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表所示)，按此表的排列规律，89所在的位置是 ( )．
A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列
解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．
答案 D
7．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝ ( )．
A.67 B.68
C.111 D.112
解析 由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{an}的第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝112，故应选D.
答案 D
8．已知结论：“在正△ABC中，若D是边BC的中点，G是△ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝ ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
答案 C
9. 如右图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2 011＋a2 012＋a2 013＝ ( )．
A．1 003 B．1 005 C．1 006 D．2 012
解析 a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2 011＋a2 013＝0，a2 012＝1 006，故a2 011＋a2 012＋a2 013＝1 006.故选C.
答案 C
10．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i，在复平面内对应的点分别为A、B，则对应的复数z在复平面内所对应的点在第________象限．
解析 z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i.因为z的实部a＝－1<0，虚部b＝1>0，所以复数z在复平面内对应的点在第二象限内．
答案 二
11．在等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________．
解析 等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得＝.
答案 ＝
12．执行如图所示的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.
解析 依次执行S＝<0.8，n＝2；S＝＋<0.8，n＝3；S＝＋＋>0.8，n＝4，故输出4.
答案 4
13．(2013·苏北调研)如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．
解析 观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.
又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216.
答案 216(或65 536)
14．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝________，f(4)＝________，…，f(n)＝________.
解析 当n＝3时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a，x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2，∴6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，即g＝.而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝，进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有3个数相加，f(2)中有6个数相加，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加，…，若f(n－1)中有an－1(n>1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…，可得f(n)＝f(n－1)＋.所以f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…＝＋＋＋…＋＋f(1)＝＋＋＋…＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．
答案 5 (n＋1)(n＋2)
15. 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
(1)解 如图，取CD的中点G，连结MG，NG.
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵MN＝＝，
∴sin∠MNG＝为MN与平面DCEF所成角的正弦值．
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
由已知，两正方形不共面，∴AB?平面DCEF.
又∵AB∥CD，CD?平面DCEF，
∴AB∥平面DCEF.
∵EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.
又∵AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
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