湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:三角函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角的终边上一点的坐标为则角的最小正值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.在?ABC中,A,B,C为内角,且,则?ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
3.关于的方程有一个根为,则△ABC中一定有( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.已知为第四象限的角,且,则=( )
A. - B. C. - D.
【答案】A
5.已知锐角的终边上一点P(,),则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.2
【答案】C
7.下列数中,与相等的是( )
A. B. C. D. -
【答案】A
8.△ABC中,已知,,则∠C等于( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
【答案】D
9.若是第四象限角,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
10.在△ABC中,tanA=,cosB=,则sinC=( )
A. B. 1 C. D. -2
【答案】A
11.已知( )
A. B. C. D.
【答案】B
12.在锐角三角形中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,设B=2A,则的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(0,2) C.(,2) D.(,)
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.与角终边相同的最小正角是 .
【答案】
14.函数的图象为,则如下结论中正确的序号是____________.
①图象关于直线对称;
②图象关于点对称;
③函数在区间内是增函数;
④由的图像向右平移个单位长度可以得到图象.
【答案】①②③
15.已知为锐角,,则 .
【答案】
16.已知sin2α=,,则sinα+cosα的值为 。
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知向量,,函数.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移单位,得到函数的图象,求在上的最大值,
并写出x相应的取值.
【答案】(Ⅰ)
故的最小正周期为T=
由 得
得函数的f(x) 单调递减区间为
(II)由题意
18.设函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)设函数对任意,有,且当时,; 求函数在上的解析式。
【答案】
(1)函数的最小正周期;
(2)当时,
当时,,
当时,,
综上所述,函数在上的解析式为
19.已知角的终边与单位圆交于点P(,).
(I)写出、、值; (II)求的值.
【答案】(I)已知角的终边与单位圆交与点P(,).
=;=;=;
(II)= =.
20.已知0<<,sin=.
(1)求tan的值;
(2)求cos 2+sin(+)的值.
【答案】 (1)因为0<<,(sin=, 故(cos=,所以(tan=.
((2)cos 2+sin(+)=1-2sin2+cos=1-+=.
21.已知函数f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)
与向量n=(3,sinB)共线,求a,b的值.
【答案】 (1)f(x)=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1,当2x-=2kπ-,k∈Z,
即x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值-2.,f(x)的最小正周期为π.
(2)由f(C)=0,得C=.又c=,得a2+b2-ab=7,由向量m=(1,sinA)与向量n=(3,sinB)共线,得sinB=3sinA,b=3a. 解方程组,得.
22.在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域,已知B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点.
(1)若BC=a=10,求储存区域三角形ABC面积的最大值;
(2)若AB=AC=10,在折线MBCN内选一点D,
使DB+DC=a=20,求储存区域四边形DBAC
面积的最大值.
【答案】(1)因为三角形的面积为倍AB·AC,所以当AB=AC时其值才最大,可求得为25
(2)求四边形DBAC面积可分为ABC跟BCD两个三角形来计算,而ABC为定值可先不考虑,进而只考虑三角形BCD的面积变化,以BC为底边,故当D点BC 的距离最长时面积取得最大值。因为DB+DC=a=20总成立,所以点D的轨迹是一个椭圆,B、C是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当D点在BC的中垂线上时点D到BC的距离才能取得最大值,再结合题意四边形DBAC刚好是一个边长为10的正方形,其面积为100。
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