课时提升作业(三十) 一、选择题 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=　(　　) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 2.等差数列{an}满足a2+a9=a6,则前9项和S9=　(　　) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 3.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于　(　　) (A)25 (B)27 (C)50 (D)54 4.(2013·西安模拟)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=　(　　) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 5.(2013·西安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=4,则=　(　　) (A) (B) (C) (D)4 6.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　) (A)S5>S6 (B)S5an成立的n的最小值. 14.(2013·阜新模拟)已知数列{an}中a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足bn=(n∈N+). (1)求证数列{bn}是等差数列. (2)若Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1),是否存在a与b∈Z,使得:a≤Sn≤b恒成立?若有,求出a的最大值与b的最小值,若没有,请说明理由. 15.(能力挑战题)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值. (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由. 答案解析 1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解. 【解析】选B.方法一: ∵a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ∴a2+a10=a4+a8=16. 方法二:由等差数列的性质得 a2+a10=a4+a8=16. 2.【解析】选B.由a2+a9=a6得a5+a6=a6,由此得a5=0,故S9=9a5=0. 3.【解析】选B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6,即a1=-4d+3,S9=9a1+36d= 9(-4d+3)+36d=27. 4.【解析】选C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=a4+a4,所以a4=4.根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C. 5.【解析】选A.设公差为d,则由=4,得=4,即4a1+6d=8a1+4d, 即d=2a1. ===. 6.【思路点拨】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断. 【解析】选D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0, 且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0, ∴S5=S6. 【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19=　(　　) (A)55 (B)95 (C)100 (D)不能确定 【解析】选B.∵a3+a17=10,∴a10=5,那么S19=19a10=95. 7.【解析】选B.等差数列{an}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立, 故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1. 8.【解析】S8-S3=10?-=10 ?5a1+8a8-3a3=20 ?10a1+50d=20?a1+5d=2?a6=2 ?S11==11a6=22. 答案：22 9.【解析】设等差数列{an}的公差为d, 由已知条件可得a1+a2+a3=3a2=0, 即 解得故Sn=n-=. 答案： 10.【解析】由已知,得 即消去d,得 -10a1+16=0,解得a1=2或a1=8, 当a1=2时,d=3, a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105; 当a1=8时,d=-3,不适合题意,舍去. 答案：105 11.【解析】∵{an},{bn}为等差数列, ∴+=+===. ∵====,∴=. 答案： 【方法技巧】巧解等差数列前n项和的比值问题 关于等差数列前n项和的比值问题,一般可采用前n项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时Sn=na中,也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项和分别是Sn与Tn,则=. 【变式备选】已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　(　　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【解析】选D.由等差数列的前n项和及等差中项,可得=== ====7+(n∈N+), 故n=1,2,3,5,11时,为整数.故选D. 12.【解析】(1)设{an}的公差为d,由已知条件,解得a1=-3,d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-5. (2)Sn=na1+d=n2-4n=(n-2)2-4. 所以n=2时,Sn取到最小值-4. 【变式备选】在数列{an}中,an=43-3n,则当n为何值时,前n项和Sn取得最大值. 【解析】方法一:∵an=43-3n, ∴an+1-an=[43-3(n+1)]-(43-3n)=-3. 又a1=40, ∴数列{an}是首项为40,公差为-3的等差数列, ∴Sn=na1+d=40n- =-n2+n=-(n-)2+, ∴当n=14时,Sn最大. 方法二:令an=43-3n≥0,解得n≤=14, 即当n≤14时,an>0,当n≥15时,an<0, ∴S14最大,即当n=14时,Sn最大. 13.【解析】(1)设{an}的公差为d, 依题意,得 a2=a1+d=-5,S5=5a1+10d=-20. 解得 所以an=-6+(n-1)·1=n-7. (2)因为an=n-7,所以 Sn=n=. 令>n-7, 即n2-15n+14>0, 解得n<1或n>14. 又n∈N+,所以n>14. 所以n的最小值为15. 【变式备选】等差数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足2S2=a2(a2+1),且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=,求数列{bn}的最小值项. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d. 由2S2=+a2, 可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d). 又a1=1,可得d=1(d=-2舍去), ∴an=n. (2)根据(1)得Sn=, bn===n++1. 由于函数f(x)=x+(x>0)在(0,]上是减少的,在[,+∞)上是增加的, 而3<<4,且f(3)=3+==, f(4)=4+==, 所以当n=4时,bn取得最小值, 且最小值为+1=, 即数列{bn}的最小值项是b4=. 14.【解析】(1)由题意知bn-1=, ∴bn-bn-1=-=1(n∈N+,n≥2). ∴{bn}是首项为b1==-, 公差为1的等差数列. (2)依题意有Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1) =--. 设函数y=,在x>3.5时,y>0,y'<0,∴y=在(3.5,+∞)上是减少的, 故当n=3时,Sn=--取最小值-. 而函数y=在x<3.5时, y<0,y'=-<0, ∴其在(-∞,3.5)上也是减少的. 故当n=2时,取最大值:S2=. a的最大值与b的最小值分别为-3,2. 15.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), 且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ, 故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下: 由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3. 于是a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以,对任意λ,{an}都不可能是等差数列.
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