课时提升作业(三十三) 一、选择题 1.(2013·临川模拟)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,则a8=　(　　) (A)0 (B)-109 (C)-78 (D)11 2.(2012·海淀模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,
-
=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值为　(　　) (A)4 (B)5 (C)24 (D)25 3.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(an,2),b=(an+1,
),且a1=1,若数列{an}的前n项和为Sn,且a∥b,则Sn=　(　　) (A)
[1-(
)n] (B)
[1-(
)n] (C)
[1-(
)n-1] (D)
[1-(
)n-1]
4.(2013·抚州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若(
S8-S5)(S8-S4)<0,则　 (　　) (A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7| (C)|a6|=|a7| (D)a6=0 5.(2013·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的
是较小的两份之和,问最小一份为　(　　) (A)
(B)
(C)
(D)
6.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若
<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为　(　　) (A)11 (B)19 (C)20 (D)21 7.(
2013·商洛模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{
}的前n项和为Sn,则S2012的值为　(　　) (A)
(B)
(C)
(D)
8.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有　(　　) (A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值 (C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定 二、填空题 9.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{
}的前n项和Sn等于　　　　. 10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒　　　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 11.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=　　　. 12.(能力挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N+,若数列{an}是等比数列,则实数t=　　　. 三、解答题 13.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列, (1)求{an}的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn. 14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式. (2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn. 15.(2013·新余模拟)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=anan+1,数列{an}的前n项和为Sn. (1)求证:数列{
}为等差数列. (2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn.
答案解析 1.【解析】选B.数列{bn}的公差为-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=7×26+
×(-14)=-112,故a8=-
109. 2.【解析】选C.由a1=1,an>0,
-
=1(n∈N+)可得
=n,即an=
,要使an<5,则n<25,故选C. 3.【解析】选A.由向量a∥b,得
an=2an+1, 即
=
,数列{an}是公比为
的等比数列,则 Sn=
=
[1-(
)n].
4.【解析】选A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知 S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0, 当
S8-S5>0且S8-S4<0时, 有
∴
∴|a6|>|a7|. 当S8-S5<0且S8-S4>0时, 有
∴
∴|a6|>|
a7|,故选A. 5.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a
-d,a,a+d,a+2d(其中d>0)
,则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20. 由
(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d= 7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=
, 所以,最小的一份为a-2d=20-
=
. 6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“
<-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出
的取值范围,进而求出使得Sn<0的n的最小值,或者根据等比数列的性质求解. 【解析】
选C.方法一:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由
得-
<
<-9. ∵Sn=na1+
d=
n2+(a1-
)n, 由Sn=0得n=0或n=1-
. ∵19<1-
<20, ∴Sn<0的解集为{n∈N+|n>1-
}, 故使得Sn<0的n的最小值为20. 方法二:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0, 由a10+a11<0知S20<0,故选C. 7.【解析】选D.由函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点, 得b=
, ∴
=
=
-
, S2012=
+
+…+
=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=
. 8.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=
≥
=
=
=b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值. 9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n, ∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2), 令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n, ∴
=2n,∴Sn=2n+1-2. 答案：2n+1-2 10.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=
,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·
, ∴an=a1qn-1=(
)n,∴(
)n<
,得n≥4. 答案：4 【方法技巧】建模解数列问题 对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量. 11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1, ∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1, an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1, a2=a1+1+1,a1=2=1+1, 将以上各式相加得: an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1 =
+n+1 =
+n+1 =
+1. 答案：
+1 12.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子,两个式子相减后得出an+1,an的关系,可得数列{an}中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要
等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得an+1=2Sn+1, an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2
), 所以当n≥2时,{an}是等比数列, 要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需
=
=3,从而t=1. 答案：1 13.【解析】(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1
+a1q+a1q2), 由于a1≠0,故2q2+q=0. 又q≠0,从而q=-
. (2)由已知可得a1-a1(-
)2=3, 故a1=4, 从而Sn=
=
[1-(-
)n]. 14.【思路点拨】(1)根据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出极小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn,再代入sinSn求解. 【解析】(1)f(x)=
+sinx,令f'(x)=
+cosx=0,得x=2kπ±
(k∈Z), f'(x)>0?2kπ-
0, ∴Tn+1>Tn.

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