高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(三十四) 数列的综合应用
1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )
A. B．4
C．2 D.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )
A．±4 B．－4
C．4 D．无法确定
3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
2
4
1
2
x
y
z
4.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2011·上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．
8．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
9．(2012·安徽模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．
下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列．
③{(－1)n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列；
其中正确命题的序号为________．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.
11．已知各项均为正数的数列{an}满足：a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足：bn＝，是否存在正整数m，n(1250，所以满足条件的最小整数n是7.
7．解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，故q＝.
答案：
8．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．
答案：2 000
9．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝，则数列{an}是等方差数列，但数列{a}不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)，则a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，故④正确．
答案：①③④
10．解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．
又数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.
∴bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n.
所以Tn＝2n＋1－2－n.
11．解：(1)因为a＝2a＋anan＋1，
即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.
又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1.
所以数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2.
故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bn＝.
若b1，bm，bn成等比数列，则2＝，
即＝.
由＝，可得＝，
所以－2m2＋4m＋1>0，从而1－1，所以m＝2，此时n＝12.
故当且仅当m＝2，n＝12时，b1，bm，bn成等比数列．
12．解：(1)因为S1＝(a1－1)＝a1，所以a1＝a.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，整理得＝a，即数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．所以an＝a· an－1＝an.
(2)由(1)知，
bn＝＋1＝，(*)
由数列{bn}是等比数列，则b＝b1·b3，故2＝3·，解得a＝，
再将a＝代入(*)式得bn＝3n，故数列{bn}为等比数列，所以a＝.
由于＝>＝＝，满足条件①；由于＝≤，故存在M≥满足条件②.故数列为“嘉文”数列．
B级
1．选C 由题意得an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，
故Sn＝＝1－n.则数列{an}的前n项和的取值范围是.
2．解析：由x2－x<2nx(n∈N*)，
得00，故有－2n2＋40n－72>0，解得2
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