课时提升作业(三十一) 一、选择题 1.已知等比数列{an}的公比q=2,其前4项和S4=60,则a2等于　(　　) (A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6 2.(2013·吉安模拟)已知a1,
,
,…,
,
…是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{an}的第100项等于　(　　) (A)25050 (B)24950 (C)2100 (D)299 3.在正项等比数列{an}中,a1,a19分别是方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于　(　　) (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 4.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则
的值为　(　　) (A)
(B)
(C)
(D)
5.(2013·沈阳模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9,则lo
(a5+a7+a9)的值是　(　　) (A)-5 (B)-
(C)5 (D)
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2011=3S2010+2012,a2010=3S2009+2012,则公比q=　　 (　　) (A)4 (B)1或4 (C)2 (D)1或2 7.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于　(　　) (A)18 (B)24 (C)60
(D)90 8.(2013·汉中模拟)在等比数列{an}中,a6与a7的等差中项等于48,a4a5a6a7a8a9a10=1286.如果设数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn=　(　　)[ (A)5n-4 (B)4n-3 (C)3n-2 (D)2n-1 二、填空题 9.(2012·广东高考)若等比数列{an}满足a2a4=
,则a1
a5=　　　. 10.已知等比数列{an}的首项为2,公比为2,则
=　　　. 11.(能力挑战题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N+),则数列{an}的通项公式an=　　　. 三、解答题 12.(2013·宝鸡模拟)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2an+1. (1)证明:数列{an+1}为等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 13.(2013·西安模拟)已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n有n,an,Sn成等差数列. (1)求证:数列{Sn+n+2}成等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 14.(能力挑战题)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(
+
), a3+a4
+a5=64(
+
+
), (1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=(an+
)2,求数列{bn}的前n项和Tn. 15.(能力挑战题)设一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3. (1)试用an表示an+1. (2)求证:数列{an-
}是等比数列. (3)当a1=
时,求数列{an}的通项公式. 答案解析 1.【解析】选A.S4=60,q=2?
=60?a1=4, ∴a2=a1q=4×2=8. 2.【解析】选B.假设a0=1,数列{
}的通项公式是
=2n-1. 所以a100=a1·
·
·…·
=20+1+…+99=24950. 3.【解析】选C.根据根与系数的关系得a1a19=1
6,由此得a10=4,a8a12=16,故a8·a10·a12=64. 4.【解析】选A.
=
=
=
=
. 5.【思路点拨】根据数列满足log3an+1=
log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9可以确定数列是公比为3的等比数列,再根据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值. 【解析】选A.由log3an+1
=log3an+1(n∈N+),得an+1=3an,又因为an>0,所以数列{an}是公比为3的等比数列,a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 所以lo
(a5+a7+a9)=-log335=-5. 6.【解析】选A.由a2011=3S2010+2012,a2010=3S2009+2012两式相减得a2011-a2010=3a2010,即q=4. 7.【解析】选C.由
=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),又因为公差不为零,所以2a1+3d=0, 再由S8=8a1+
d=32得2a1+7d=8, 则d=2,a1=-3, 所以S10=10a1+
d=60.故选C. 8.【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q, 由a6与a7的等差中项等于48,得a6+a7=96, 即a1q5(1+q)=96,
　① 由等比数列的性质,得a4a10=a5a9=a6a8=
, 因为a4a5a6a7a8a9a10=1286, 则
=1286=(26)7,
即a1q6=26,　② 由①②解得a1=1,q=2, ∴Sn=
=2n-1,故选D. 9.【思路点拨】本题考查了等比数列的性质:已知m,n,p∈N+,若m+n=2p,则am·an=
. 【解析】∵a2a4=
,∴
=
, ∴a1
a5=
=
. 答案：
10.【解析】由题意知an=2n, 所以
=
=
=22=4. 答案：4 11.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时Sn=2Sn-1+n, 两式相减得:an+1=2a
n+1, ∴an+1+1=2(an+1), 即
=2. 又S2=2S1
+1+1,a1=S1=1, ∴a2=3,∴
=2, ∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N+). 答案：2n-1 【方法技巧】含Sn,an问题的求解策略 当已知含有Sn+1,Sn之间的等式时,或者含有Sn,an的混合关系的等式时,可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式. 12.【解析】(1)
=
=2, 所以{an+1}是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知an+1=(a1+1)×2n-1, 所以an=3×2n-1-1. 13.【解析】(1)因为n,an,Sn成等差数列, 所以2an=Sn+n, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1, 所以2(Sn-Sn-1)=Sn+n, 即Sn=2Sn-1+n(n≥2), 所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2 =2[Sn-1+(n-1)+2], 又S1+2-1+2=4≠0, 所以
=2, 所以数列{Sn+n+2}成等比数列. (2)由(1)知{Sn+n+2}是以4为首项,2为公比的等比数列, 所以Sn+n+2=4·2n-1=2n+1, 又2an=n+Sn,所以2an+2=2n+1, 所以an=2n-1. 14.【思路点拨】(1)设出公比q,根据条件列出关于a1与q的方程组求得a1与q,即可求得数列的通项公式. (2)由(1)中求得数列的通项公式,可求出{bn}的通项公式,由其通项公式可知分开求和即可. 【解析】(1)设公比为q,则an=a1qn-1.由已知得
化简得
又a1>0,故q=2,a1=1,所以an
=2n-1. (2)由(1)得bn=(an+
)2=
+2
+
=4n-1+
+2. 所以Tn=(1+4+…+4n-1)+(1+
+…+
)+2n =
+
+2n =
(4n-41-n)+2n+1. 15.【解析】(1)∵一元
二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β, 由根与系数的关系易得α+β=
,αβ=
, ∵6α-2αβ+6β=3,∴
-
=3, 即an+1=
an+
. (2)∵an+1=
an+
, ∴an+1-
=
(an-
), 当an-
≠0时,
=
, 当an-
=0,即an=
时, 此时一元二次方程为
x2-
x+1=0, 即2x2-2x+3=0, ∵Δ=4-24<0, ∴不合题意,即数列{an-
}是等比数列. (3)由(2)知:数列{an-
}是以a1-
=
-
=
为首项,公比为
的等比数列, ∴an-
=
×(
)n-1=(
)n, 即an=(
)n+
, ∴数列{an}的通项公式是an=(
)n+
. 【变式备选】定义:若数列{An}满足An+1=
,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图像上,其中n为
正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列. (2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式. 【解析】(1)由条件得:an+1=2
+2an, ∴2an+1+1=4
+4an+1=(2an+1)2, ∴{2an+1}是“平方递推数列”. ∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1), ∴
=2, ∴{lg(2an+1)}为等比数列. (2)∵lg(2a1+1)=lg5, ∴lg(2an+1)=lg5·2n-1, ∴2an+1=
,∴an=
(
-1). ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1) =
=(2n-1)lg5, ∴Tn=
.

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