三维设计2013年高考数学二轮复习：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列三个类比结论[来源:]
①；
②；
③；
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
2．观察式子：……，由此可归纳出的式子为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
3．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【答案】C
4．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
【答案】C
5．把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 ( )
A． 27 B． 28 C． 29 D． 30
【答案】B
6．若，，则P、Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
【答案】C
7．把下列各题中的“=”全部改成“”，结论仍然成立的是( )
A．如果，那么；[来源:]
B．如果，那么；
C．如果，且，那么；
D．如果，那么
【答案】D
8．已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
9．对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是61，则的值是( )
A． 6 B．7 C． 8 D． 9
【答案】C[来源: ]
10．若为的各位数字之和，如则,记则( )
A． 3 B． 5 C． 8 D． 11
【答案】B
11．下列推理所得结论正确的是( )
A． 由类比得到
B． 由类比得到
C． 由类比得到
D． 由类比得到
【答案】C
12．已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于( )
A．2 B． 4 C． D．
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，可猜想得到对任意的正整数n都成立的等式为____________ (用n的代数式表示)
【答案】n+(n+1)+…+（3n-2）=(2n-1)2
14．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第80个数对是 。
【答案】（2,12）
15．对于各数互不相等的整数数组 (是不小于2的正整数)，对于任意，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 .
【答案】4
16．对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.
(1）b2+b4+b6+b8=____________；
(2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是____________.
【答案】（1）3；（2）2.
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设和均为无穷数列．
(1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式．
(2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）．
【答案】（1）①设，
则设
(或）
当时，对任意的， （或）恒成立，
故为等比数列；
当时，
证法一：对任意的，，不是等比数列．
证法二：，不是等比数列．
②设，
对于任意，，是等比数列．
(2）设，均为等差数列，公差分别为，，则：
①为等差数列；
②当与至少有一个为0时，是等差数列，
若，；
若，．
③当与都不为0时，一定不是等差数列．
18．已知,且,求证:与中至少有一个小于2.
【答案】假设与都大于或等于2,即,
,故可化为,[来源: ]
两式相加,得x+y≤2,
与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.
19．是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）。
【答案】假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n（n+1）2=
记Sn=1·22+2·32+…+n（n+1）2[来源:]
设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
= (3k2+5k+12k+24）
=［3（k+1）2+11（k+1）+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立。
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立
20．已知四边形ABCD是圆内接四边形，直线AC,BD相交于P点，并且＝．设E为AC的中点.求证：＝．
【答案】由托勒密定理，得AB×CD＋AD×BC＝AC×BD.因为AB×CD＝AD×BC，AE＝EC，所以有2AB×CD＝2AE×BD＝2EC×BD，即有AB×CD＝AE×BD＝EC×BD.在△CED与△BAD中，因为∠ABD＝∠ECD，AB×CD＝EC×BD，故△CED∽△BAD，从而有∠CED＝∠BAD.同理可得△ABE∽△DBC，∠AEB＝∠DCB.于是得到∠AEB＝∠DCB＝180°－∠BAD＝180°－∠CED＝∠AED，此即EP平分∠BED.因此由角平分线定理，得 ＝．
21．请先阅读：
(Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式 (，整数），证明：；
(Ⅱ）当整数时，求的值；
(Ⅲ）当整数时，证明：.
【答案】（Ⅰ）在等式两边对x求导，
得
移项得
即
(Ⅱ）解：在（*）式中，令
得
即
(Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知
两边对x求导得
在上式中，令
得，
即
22．若且，求证和中至少有一个成立。
【答案】假设且，则
所以 ，即，与题设矛盾。
所以假设不成立，原命题成立。
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