2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(十六) 导数的应用(二)
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．
4．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数f(x)＝ex－x，其中m为常数．
(1)若对任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范围；
(2)当m>1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．
7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6－2)．
(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m1，f′(x)>0，f(x)单调递增；
故当x＝m时，f(m)为极小值，也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，
即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，
∴f(x)在(0，m)上有一个零点．
又f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，
∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，
∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．
故f(x)在[0,2m]上有两个零点．
7．解：(1)设－u＝k2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2.
∴u＝－22＋
＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)
＝－2x3＋33x2－108x－108(60；
当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
B级
1．解：(1)f′(x)＝(2x－3)ex＋ex(x2－3x＋3)＝exx(x－1)，
①当－20，f(x)单调递增，
当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当－2－2，
h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1)(t>－2)．
故h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：
t
(－2,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(t)
＋
0
－
0
＋
h(t)
极大值
极小值
由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－＝>0，又h(－2)＝0，故当－2h(－2)＝0，即h(t)>0，
因此，n－m>0，即m0，得x<－1或x>1；
由f′(x)<0，得－13.
故实数k的取值范围是(3，＋∞)．
MZP
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