课时提升作业(十三) 一、选择题 1.函数y=x5·ax(a>0且a≠1)的导数是(　　) (A)y′=5x4·axlna (B)y′=5x4·ax+x5·axlna (C)y′=5x4·ax+x5·ax (D)y′=5x4·ax+x5·axlogax 2.(2013·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=(　　) (A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8 3.(2013·宝鸡模拟)若函数f(x)=excosx,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(　　) (A)0 (B)锐角 (C)直角 (D)钝角 4.(2013·赣州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且
=-2,则曲线y=f(x)在
点(0,f(0))处的切线方程是(　　) (A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2 (C)y=4x+2
(D)y=-
x+2 5.如图,其中有一个是函数f(x)=
x3+ax2+(a2
-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f
′(x)的图像,则f(-1)为(　　)
(A)2 (B)-
(C)3 (D)-
6.(2013·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+
x-9都相切,则a等于(　　) (A)-1或-
(B)-1或
(C)-
或-
(D)-
或7 二、填空题 7.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5) =　　　　. 8.(2013·宜春模拟)若过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为　　　　,切线的斜率为　　　　. 9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 三、解答题 10.求下列各函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3). (2)y=
. (3)y=
. 11.(2013·宿州模拟)设函数f(x)=ax-
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式. (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 12.(能力挑战题)设函数y=x2-2x+2的图像为
C1,函数y=-x2+ax+b的图像为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系. (2)求ab的最大值. 答案解析 1.【解析】选B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax
+x5·axlna. 2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=
a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=
×|-a2|×|
a|=
|a3|=16,解得a=±4. 3.【解析】选D.由已知得: f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx), ∴f′(1)=e(cos1-sin1). ∵
>1>
, 而由正、余弦函数性质可得cos 10, ∴a=-1,故f(-1)=-
. 6.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值. 【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,
),所以切线方程为y-
=3
(x-x0), 即y=3
x-2
.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=
, 当x0=0时,由y=0与y=ax2+
x-9相切可得 Δ=(
)2-4a(-9)=0, 解得a=-
, 同理,当x0=
时,由y=
x-
与y=ax2+
x-9相切可得a=-1,所以选A. 【方法技巧】导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求
该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k. (3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=
求解. 7.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得 f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 答案:6 8.【解析】y′=ex,设切点坐标为(x0,y0),则
=
,即
=
,∴x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e. 答案:(1,e)　e 9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.[来源:Zxxk.Com] 【解析】由题意可知f′(x)=3ax2+

,又因为存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+
=0?a=
(x>0)?a∈(-∞,0). 答案:(-∞,0) 10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. (2)∵y=
+
=
,[ ∴y′=(
)′=
=
. (3)∵y=
=cosx-sinx, ∴y′=-sinx-cosx. 11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=
x-3. 当x=2时,y=
.又f′(x)=a+
, 于是
解得
故f(x)=x-
. (2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+
知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+
)(x-x0),即y-(x
0-
)=(1+
)(x-x0). 令x=0得y=-
,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-
). 令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0), 所以点P(
x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成
的三角形面积为S=
|-
||2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. 【
变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16. (1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标. (2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0), 则直线l的斜率为f′(x0)=3
+1, ∴直线l的方程为y=(3
+1)(x-x0)+
+x0-16. 又∵直线l过点(0,0), ∴0=(3
+1)(-x0)+
+x0-16, 整理得,
=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). 方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), 则k=
=
. 又∵k=f′(x0)=3
+1, ∴
=3
+1,解得x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). (2)∵切线与直线y=-
x+3垂直, ∴切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则f
′(x0)=3
+1=4, ∴x0=±1, ∴
或
∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),[ 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 12.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2, 对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a, 设C1与C2的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直, ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即4
-2(a+2)x0+2a-1=0.　① 又点(x0,y0)在C1与C2上, 故有
∴2
-(a+2)x0+2-b=0.　　② 由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=
-a. (2)由(1)知:b=
-a, ∴ab=a(
-a)=-(a-
)2+
, ∴当a=
时,(ab)最大=
.

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