课时提升作业(十五) 一、选择题 1.(2013·西安模拟)函数y=f(x)在定义域(-
,3)内的图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)
(A)[-1,
]∪[
,
] (B)[-
,1]∪[2,3) (C)(-
,
]∪[1,2) (D)(-
,-
]∪[
,
)∪[
,3) 2.若对任意的x>0,恒有lnx≤px-1(p>0),则p的取值范围是(　　) (A)(0,1]　　　　　(B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)[1,+∞) 3.(2013·黄山模拟)在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是(　　)
(A)
πR3 (B)
πR3 (C)
πR3 (D)
πR3 4.(2013·宣城模拟)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有(　　) (A)f(0)+f(2)<2
f(1)　　 (B)f(0)+f(2)≤2f(1) (C)f(0)+f(2)≥2f(1) (D)f(0)+f(2)>2f(1) 5.(2013·咸阳模拟)函数y=2x3+1的图像与函数y=3x2-b的图像有三个不相同的交点,则实数b的取值范围是(　　) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 6.(2013·安庆模拟)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且f(-3)g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 (　　) (A)(-3,0)∪(3,+∞) (B)(-3,0)∪(0,3) (C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题 7
.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(
),f(-
)的大小关系为　　　　　(用“<”连接). 8.(2013·宜春模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为　　　　. 9.(能力挑战题)在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)=ex(x>0)的图像上的动点,该图像在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是　　　　　. 三、解答题 10.(2013·蚌埠模拟)已知函数f(x)=
+
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (1)求a,b的值. (2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>
. 11.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:
C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. 12.(能力挑战题)已知函数f(x)=
x3-x2+ax-a(a∈R). (1)当a=-3时
,求函数f(x)的极值. (2)若函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围. 答案解析 1.【解析】选B.由函数y=f(x)的图像知,函数y=f(x)在[-
,1],[2,3)上是减少的,故f′(x)≤0的解集为[-
,1]
∪[2,3). 2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0.由f′(x)=
-p,知f(x)在(0,
)上是增加的,在(
,+∞)上是减少的. 故f(x)max=f(
)=-lnp,由-lnp≤0得p≥1. 3.【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为
,圆柱的体积为V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(00时的解集. 【解析】选D. x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 即x<0时,[f(x)g(x)]′>0. ∴f(x)g(x)为增函数,且f(-3)g(-3)=0. 故当x<-3时,f(x)g(x)<0. ∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, ∴f(x)g(x)为奇函数, 当x>0时,由f(x)g(x)<0得00,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥
-
, 设g(x)=
-
,则g′(x)=
,所以g(x)在区间(0,
]上是增加的,在区间[
,1]上是减少的,因此g(x)max=g(

)=4,从而a≥4.当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤
-

.g(x)在区间[-1,0)上是增加的,∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4. 答案:4 【变式备选】已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围. 【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k, 问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min≥0,x∈[-3,3]. 令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1. ∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9, ∴h(x)min=k-45≥0, 得k≥45. (2)据题意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立, ∴h(x)max≥0. ∴h(x)max=k+7≥0, 得k≥-7. (3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3], 易得f(x)max=f(3)=120-k, g(x)min=g(-3)=-21. ∴120-k≤-21, 得k≥141. 9.【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题,解题的关键是表示出中点的纵坐标t,然后考虑单调性求解最值. 【解析】设P(x0,
)
,x0>0,则 l:y-
=
(x-x0), ∴M(0,(1-x0)
),过点P作l的垂线: y-
=-
(x-x0),∴N
(0,
+x0
), t=
[(1-x0)
+
+x0
] =
+
x0(
-
) t′=
(
+
)(1-x0), 所以,t在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, tmax=
(e+
). 答案:
(e+
) 10.【解析】(1)由f(x)=
+
,得 f′(x)=a·
-
=a·
-
, ∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0, ∴
解得
(2)由(1)知f(x)=
+
, ∴f(x)-
=
(2lnx-
), 考虑函数h(x)=2lnx-
(x>0),则 h′(x)=-
. 所以当x≠1时,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上是减少的.而h(1)=0,故 当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得
h(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得
h(x)>0; 从而当x>0,且x≠1
时,f(x)-
>0, 即f(x)>
. 11.【解析】(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=
.[来源:Zxxk.Com] 再由C(
0)=8,得k=40,因此C(x)=
. 而建造费用为C1(x)=6x, 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×
+6x=
+6x(0≤x≤10). (2)f′(x)=6-
, 令f′(x)=0,即
=6. 解得x=5或x=-
(舍去). 当00, 故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+
=70. 当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元. 12.【思路点拨】(1)求出导函数的零点,再判断零点两侧导数的符号.(2)三次函数的零点决定于函数的极值的符号,若函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点,则此时极大值与极小值同号. 【解析】(1)当a=-3时,f(x)=
x3-x2-3x+3. f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3. 当x<-1时,f′(x)>0,则函数在(-∞,-1)上是增加的, 当-13时,f′(x)>0,则函数在(3,+∞)上是增加的. 所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-
-1+3+3=
, 当x=3时,函数f(x)取得极小值为 f(3)=

×27-9-9+3=-6. (2)因为f′(x)=x2-2x+a, 所以Δ=4-4a=4(1-a). ①当a≥1时,则Δ≤0,∴f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增加的. f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图像与x轴有且只有一个交点. ②a<1时,则Δ>0,∴f′(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x10,解得a>0. 而当00. 故0

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