【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】
14：导数与积分
一、选择题
1．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若,则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，解得，选B.
2． （2013北京丰台二模数学理科试题）.曲线在处的切线方程是______，在x=x0处的切线与直线和y轴围成三角形的面积为 。
【答案】，2
函数的导数为，所以，即，又，所以切线方程为，即。可得在处的切线斜率为，故方程为：，令可得，令可得，故三角形的面积为.
3．（2013北京房山二模数学理科）已知函数().
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,取得极值.
① 若,求函数在上的最小值;
② 求证:对任意,都有.
【答案】(Ⅰ)
当时,
解得或, 解得
所以单调增区间为和,单调减区间为
(Ⅱ)①当时,取得极值, 所以
解得(经检验符合题意)
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
所以函数在,递增,在递减
当时,在单调递减,
当时
在单调递减,在单调递增,
当时,在单调递增,
综上,在上的最小值
②令 得(舍)
因为 所以
所以,对任意,都有
4．（2013北京昌平二模数学理科）本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)若求在处的切线方程;
(Ⅱ)求在区间上的最小值;
(III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.
【答案】解:(I)
在处的切线方程为
(Ⅱ)由
由及定义域为,令
①若在上,,在上单调递增,
因此,在区间的最小值为.
②若在上,,单调递减;在上,,单调递增,因此在区间上的最小值为
③若在上,,在上单调递减,
因此,在区间上的最小值为.
综上,当时,;当时,;
当时,
(III) 由(II)可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当时,要使在区间上恰有两个零点,则
∴ 即,此时,.
所以,的取值范围为
5．（2013北京顺义二模数学理科）已知函数,其中为正实数,.
(I)若是的一个极值点,求的值;
(II)求的单调区间.
【答案】解:.
(I)因为是函数的一个极值点,
所以,因此,解得.
经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为
(II) 令得①
(i)当,即时,方程①两根为
.
此时与的变化情况如下表:
0
—
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当时,的单调递增区间为,;
的单调递减区间为.
(ii)当时,即时,,
即,此时在上单调递增.
所以当时,的单调递增区间为
6．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数(),.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意,恒成立,求的取值范围.
【答案】(本小题满分1 )
解:(Ⅰ)函数的定义域为,
①当时,当变化时,,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,
②当时,当变化时,,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.
(Ⅱ)依题意,“当时,对于任意,恒成立”等价于 “当 时,对于任意, 成立”.
当时,由(Ⅰ)知,函数在上单调递增,在上单调递减,
因为,,所以函数的最小值为.
所以应满足
因为,所以
①当时,函数,,,
显然不满足,故不成立
②当时,令得,,.
(ⅰ)当,即时,在上,所以函数在上单调递增,
所以函数.
由得,,所以
(ⅱ)当,即时,
在上,在上,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以.
由得,,所以
(ⅲ)当,即时,显然在上,
函数在上单调递增,且.
显然不成立,故不成立
综上所述,的取值范围是
7.（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果是曲线上的任意一点,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)讨论关于的方程的实根情况.
【答案】(共14分)解:(Ⅰ) ,定义域为,
则.
因为,由得, 由得,
所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为.
(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足 ,
所以对恒成立. 又当时, ,
所以的最小值为.
(Ⅲ)由题意,方程化简得
+
令,则.
当时, ,当时, ,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以在处取得极大值即最大值,最大值为.
所以 当, 即时, 的图象与轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
当时, 的图象与轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
当时, 的图象与轴无交点,
方程无实根
8．（2013北京丰台二模数学理科）已知函数 .
(Ⅰ)当时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若>0,讨论的单调性.
【答案】解:(Ⅰ)的定义域为, 当时,
令在[1,e]上得极值点
x
2
0
增
减
(Ⅱ),
①当时,由>0得0,所以f(x)的单调增区间是(0,2),,
由<0得20得02,所以f(x)的单调增区间是(0,),,
由<0得
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