【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】2：函数
一、选择题
1．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数,定义函数 给出下列命题:
①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是 （ ）
A．② B．①② C．③ D．②③
【答案】D
①因为，而，两个函数的定义域不同，所以①不成立。②因为是偶函数。若，则，所以.若，则，所以，所以函数是奇函数，正确。③时，函数在上减函数，若，，则，所以，即成立，所以正确的是 ②③，选D.
2．（2013北京房山二模数学理科）下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A,为非奇非偶函数.B在定义域上不单调。D为非奇非偶函数。所以选C.
3．（2013北京丰台二模数学理科）已知偶函数,当时,,当时,().
关于偶函数的图象G和直线:()的3个命题如下:
① 当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;
② 若对于,直线与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;
③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
①当a=4时，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：
存在直线l，如y=0，与图象G恰有5个公共点；故①正确；②若对于，由于偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：
直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；③，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：
，使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；
其中正确命题的序号是①②③．选D.
4．（2013北京西城高三二模数学理科）已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数的图象如图所示：.
表示恒过A点斜率为的直线.若方程有3个相异的实根．
则函数与函数的图象有且仅有3个交点。由图可得：
当过点时，。当过点时，。当过点时，。当过点时，。则实数满足或 ，即实数的取值范围是。选B.
5.（2013北京昌平区二模数学理科试题）（13）已知函数。若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
当单调递减，且，当时，单调递增，且，所以要使方程有两个不同的实根，则有。
6.（2013北京顺义二模数学理科试题）14.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为 .
【答案】6
因为 且时，，所以，函数单调增，，函数单调减。因为时，，在同一坐标系中作出和草图如下，
由图知在上的零点个数为6个．
7.（2013北京东城区二模数学理科试题）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
令，则,当时，，所以，即函数，所以函数在上为减函数．因为函数为定义在实数上的偶函数．所以函数在上为增函数．则,,
,因为，，，所以.因为当函数在上为增函数，所以，即，选C.
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