能力提升
1．(临朐一中12～13学年高一下学期检测)某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
答案：C
解析：
如图所示，A、B分别为远日点和近日点，由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有：va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va。
2．太阳系中有两颗行星，它们绕太阳运转周期之比为8 ∶1，则两行星的公转速度之比为( )
A．2 ∶1 B．4 ∶1
C．1 ∶2 D．1 ∶4
答案：C
解析：由开普勒第三定律得＝，解得＝＝。由v＝得＝·＝×＝，故C正确。
3．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期(年)
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A.1.2亿千米 B．2.3亿千米
C．4.6亿千米 D．6.9亿千米
答案：B
解析：由题意可知，行星绕太阳运转时，满足＝常数，设地球的公转周期和公转半径分别为T1、r1，火星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为T2、r2，则＝，代入数值得，r2＝2.3亿千米。
4．(2013·试题调研)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是( )
答案：B
解析：根据开普勒周期定律：＝＝k，则＝，两式取对数，得：lg＝lg，整理得2lg＝3lg，选项B正确。
5.
地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半径长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算。它下次飞近地球是哪一年？
答案：2062年
解析：由＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。
将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有：＝
因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝×T1＝76.4年。
所以它下次飞近地球是在2062年。
6．2012年5月10日美国在加州贝克附近一个沙漠，测试新一代火星探测器“好奇号”。发射火星探测器可按以下步骤进行，第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之成为一个沿地球公转轨道运动的人造行星。第二步是在适当时刻启动探测器上的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度值增加到适当值，从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行，运行其半个周期后正好飞行到火星表面附近，此时启动探测器上的发动机，使之成为绕火星运转的卫星，然后采取措施使之降落在火星上。如图，设地球的轨道半径为R，火星的轨道半径为1.5R，探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间？
答案：8.4月
解析：由题可知，探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时，其轨道半长轴为，由开普勒定律可得＝，即T′＝＝T地＝1.4T地，所以t＝＝0.7T地＝8.4月。
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