第2讲 圆周运动的规律及其应用
时间：60分钟
1．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则
( )．
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析 角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确．
答案 BCD
2．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是[
( )．
A．当火车以v的速度通过此弯路时，火车所受重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当火车以v的速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当火车速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当火车速度小于v时，轮缘挤压外轨
解析 当火车以设计速度行驶时，火车所受重力与轨道面支持力的合力刚好提供了向心力，A正确、B错误；当火车速度大于v时，轨道提供的向心力小于所需要的向心力，则不足部分由外轨向内挤压来提供，C正确；当火车速度小于v时，轨道提供的向心力大于所需要的向心力，则多余部分由内轨向外挤压来抵消，D错误．
答案 AC
3．如图4-2-20所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在水平面上做匀速圆周运动
( )．
图4-2-20
A．转速相同时，绳长的容易断
B．周期相同时，绳短的容易断
C．线速度大小相等时，绳短的容易断
D．线速度大小相等时，绳长的容易断
解析 绳子的拉力提供向心力，再根据向心力公式分析．设绳子的拉力为F，则F＝mω2r＝mv2/r，此外，T＝＝，所以，当转速n相同，即是周期或角速度相同时，绳长r越大，拉力F越大，绳子越容易断，选项A正确、B错误；当线速度v相同时，绳长r越小，拉力F越大，绳子越容易断，选项C正确、D错误．
答案 AC
4．如图4-2-21所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v.若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是
( )．
图4-2-21
A．受到的向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
解析 物体在最低点受竖直方向的合力Fy，方向向上，提供向心力，Fy＝m，A错误；而Fy＝FN－mg，得FN＝mg＋m，物体受滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，B错误、C正确；Ff水平向左，故物体受到的Ff与Fy的合力，斜向左上方，D正确．
答案 CD
5．(2013·浙江汤溪中学模拟)如图4-2-22所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B时的最小速度是
( )．
图4-2-22
A．2 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
解析 通过A点的最小速度是当拉力等于零时，即mgsin α＝，vA＝ ＝2 m/s，从A到B用机械能守恒定律有：mv＝mv＋2mgLsin α，解得vB＝2 m/s，C对．
答案 C
6．如图4-2-23所示，质量相等的A、B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是
( )．
图4-2-23
A．它们所受的摩擦力FfA>FfB
B．它们的线速度vAωB
解析 A、B随圆盘一起做匀速圆周运动，即角速度相同，所以C、D均错；由v＝ωR，可知：当RA>RB时，线速度vA>vB，可见B错误；Ff＝F向＝mω2r，可知：摩擦力FfA>FfB，A正确．
答案 A
7．如图4-2-24所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点．现让小滑块(可视为质点)从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是
( )．
图4-2-24
A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动
B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动
C．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动
D．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动
解析 小滑块通过C点的最小速度为vC，由mg＝m，得vC＝，由机械能守恒定律，若A点v0＝0，则vC＝0，实际上滑块在到达C点之前就离开轨道做斜上抛运动了，A、B错；若v0＝，小滑块通过C点后将做平抛运动，C错、D正确．
答案 D
8．如图4-2-25所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为 ，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是
( )．
图4-2-25
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时的速度大于
C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
解析 要使小球到达P点，由机械能守恒定律有：mv2＝mg·2L，可知它在圆周最低点必须具有的速度为v>2，而 >2，所以小球能到达P点；由机械能守恒定律可知小球到达P点的速度为 ；由于 <，则小球在P点受到轻杆向上的弹力．
答案 C
9．(2013·上海联考)如图4-2-26所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是
( )．
图4-2-26
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0，(n＝0,1,2,3，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2，(n＝0,1,2,3，…)
解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝，B正确、C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2，A、D错误．
答案 B
10．如图4-2-27所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动无滑动．甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙＝3∶1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时
( )．
[ ]
图4-2-27
A．滑动前m1与m2的角速度之比ω1∶ω2＝3∶1
B．滑动前m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝1∶3
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
解析 由题意可知，线速度v甲＝v乙，又r甲∶r乙＝3∶1，则ω甲∶ω乙＝1∶3，m1、m2随甲、乙运动ω1＝ω甲，ω2＝ω乙，则ω1∶ω2＝1∶3，故A错；由a＝rω2得a1＝2rω＝2rω，a2＝rω＝rω，a1∶a2＝2ω∶ω＝2∶9，故B错；m1、m2所受向心力由摩擦力提供，则a1＝，a2＝，f1max＝μm1g，f2max＝μm2g，a1≤μg，a2≤μg，又a1∶a2＝2∶9，故m2先滑动，选D.
答案 D
11．(2013·瑞安四校12月联考，13)如图4-2-28所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，从与半圆环相吻合的光滑斜轨高h＝3R处，先后由静止释放A、B两小球，A球质量为2m，B球质量为m，当A球运动到圆环最高点时，B球恰好运动到圆环最低点，求：
图4-2-28
(1)此时A、B两球的速度大小vA、vB；
(2)这时A、B两球对圆环作用力的合力大小和方向．
解析 (1)对A进行分析：从斜轨最高点到半圆形轨道最高点，机械能守恒，有
2mg(3R－2R)＝×2mv，解得vA＝
对B分析：从斜轨最高点到半圆形轨道最低点，机械能守恒，有3mgR＝mv，解得vB＝.
(2)设半圆环形轨道对A、B作用力分别为FNA、FNB，FNA方向竖直向下，FNB方向竖直向上，根据牛顿第二定律得：FNA＋2mg＝，FNB－mg＝
解得FNA＝2mg，FNB＝7mg
根据牛顿第三定律，A、B对圆环的力分别为：
FNA′＝2mg，FNB′＝7mg
FNA′方向竖直向上，FNB′方向竖直向下，所以合力F＝5mg、方向竖直向下．
答案 (1)vA＝ vB＝ (2)5mg 方向竖直向下
12．如图4-2-29所示，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝4 m/s.(取g＝10 m/s2)求：
图4-2-29
(1)小球做平抛运动的初速度v0；
(2)P点与A点的水平距离和竖直高度；
(3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．
解析 (1)小球到A点的速度如图所示，小球做平抛运动的初速度v0等于vA的水平分速度．
由图可知v0＝vx＝vAcos θ＝4×cos 60°＝2 m/s.
(2)由图可知，小球运动至A点时竖直方向的分速度为vy＝vAsin θ＝4×sin 60°＝2 m/s，
设P点与A点的水平距离为x，竖直高度为h，则
vy＝gt，v＝2gh，
x＝v0t，联立以上几式解得x≈0.69 m，h＝0.6 m．(3)取A点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg(R＋Rcos θ)，
代入数据得vC＝ m/s
设小球到达圆弧最高点C时，轨道对它的弹力为FN，由圆周运动向心力公式得FN＋mg＝m，
代入数据得FN＝8 N，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小FN′＝FN＝8 N，方向竖直向上．
答案 (1)2 m/s (2)0.69 m 0.6 m (3)8 N 方向竖直向上
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