5 向心加速度
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
向心加速度的理解
1、2、3
4
向心加速度公式的应用
6、7
5、8、9
综合提升
10、11、12
13
知识点一 向心加速度的理解
1．关于向心加速度，下列说法中正确的是
( )．
A．它是描述角速度变化快慢的物理量
B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
解析 由向心加速度的意义知C正确．
答案 C
2．物体做匀速圆周运动，关于其向心加速度的说法正确的是
( )．
A．与线速度的方向始终相同
B．与线速度的方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
解析 做匀速圆周运动的物体，向心加速度的方向总与速度的方向垂直，所以选项A、B错误．向心加速度的方向总是指向圆心，所以向心加速度的方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是一个变加速运动，选项C正确、选项D错误．
答案 C
3．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是
( )．
A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．匀速圆周运动不属于匀速运动
D．向心加速度越大，物体速率变化越快
解析 加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对、D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，C正确．
答案 BC
4．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是
( )
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析 如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确、A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，
做圆周运动的轨道半径r＝R0cos φ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大，cos φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确、C错误．
答案 BD
知识点二 向心加速度公式的应用
5．如图5-5-6所示．A、B为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的
( )．
图5-5-6
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
解析 A、B两点的线速度v大小相等，由v＝ωr得ωA∶ωB＝1∶2，由an＝得aA∶aB＝1∶2；由ω＝2πn＝，得＝2∶1，nA∶nB＝1∶2，故B项正确．
答案 B
6．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T，则下列关系式正确的是
( )．
A．ω＝ B．v＝aR C．a＝ωv D．T＝2π
解析 由a＝Rω2，v＝Rω可得ω＝ ，v＝，a＝ωv，即A、B错误，C正确；又由T＝与ω＝ 得T＝2π，即D正确．
答案 CD
7．a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为
( )．
A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9
解析 a、b两玩具车的线速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它们的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正确．
答案 B
8．如图5-5-7所示为质点P、Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知
( )．
图5-5-7
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析 由图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以断定质点P的向心加速度aP与半径r乘积是一个常数k，即aPr＝k，aP＝，与向心加速度计算公式aP＝对照可得v2＝k，即质点的线速度v＝，大小不变，A选项正确．
同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r，与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝ (常数)，质点Q的角速度保持不变，因此选项B、C、D皆不正确．
答案 A
9．如图5-5-8所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)
( )．
图5-5-8
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3 C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
解析 因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.
由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式an＝rω2，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.
由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.
答案 C
10．(2011·德州高一检测)如图5-5-9所示，压路机前后轮半径之比是1∶3，A、B分别是前后轮边缘上的点，C为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半．则当压路机运动时，A、B、C三点的角速度之比为________，向心加速度之比为________．
图5-5-9
解析 因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A、B两点线速度大小相等，而同一轮上的B、C点具有相同的角速度．
根据vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr，可得
ωA∶ωB＝∶＝∶＝3∶1
所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1
根据an＝ω2r，可得
aA＝ωrA，aB＝ωrB，aC＝ωrC
所以aA∶aB∶aC
＝(3ωC)2rA∶(ω·3rA)∶
＝9∶3∶＝6∶2∶1.
答案 3∶1∶1 6∶2∶1
11．如图5-5-10所示，长度L＝0.5 m的轻杆，一端固定质量为m＝1.0 kg的小球，另一端固定在转动轴O上，小球绕轴在水平面内匀速转动，轻杆每隔0.1 s转过30°角，试求小球运动的向心加速度的大小．
图5-5-10
解析 小球做匀速圆周运动的半径L＝0.5 m，周期为T＝0.1× s＝1.2 s，向心加速度的大小a＝Lω2＝L＝13.7 m/s2.
答案 13.7 m/s2
12．一质点做匀速圆周运动，其半径为2 m，周期为3.14 s，如图5-5-11所示，求质点从A点转过90°到达B点的速度变化量．
图5-5-11
解析 由v＝得vA＝vB＝ m/s＝4 m/s.将初速度vA平移到B点，作出速度变化Δv，则Δv＝＝4 m/s，其方向斜向左下方，与vB方向成45°角．
答案 4 m/s 方向斜向左下方，与vB方向成45°角
13．如图5-5-12所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小．
图5-5-12
解析 设乙下落到A点所用时间为t，
则对乙，满足R＝gt2，得t＝ ，
这段时间内甲运动了T，即
T＝ ①
又由于a＝Rω2＝R ②
由①②得，a＝π2g.
答案 π2g
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