4 万有引力理论的成就
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
计算天体的质量和密度
1、2、3
4
天体运动规律
6、7
5
双星问题
8、9
综合提升
10、11、12
13
知识点一 计算天体的质量和密度
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为
( )．
A. B. C. D.
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ.代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝.
答案 A
2．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒大小不等，线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km，已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期均为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的作用)
( )．
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
解析 由G＝mr得土星的质量M＝＝ kg≈6.4×1026 kg.
答案 D
3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有
( )．
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行速度的大小
解析 由天体运动的受力特点，得G ＝m ·R，可得地球的质量M＝.由周期和线速度的关系，可得0月球绕地球运行速度的大小v＝.故选B、D.
答案 BD
4．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的
( )．
A. B．4倍 C．16倍 D．64倍
解析 由＝mg得M＝，ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4，结合题意，该星球半径是地球半径的4倍．根据M＝，＝·＝64.
答案 D
知识点二 天体运动规律
5．据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是
( )．
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
解析 在月球表面万有引力等于重力，
即G＝mg，故g＝ ①
对“嫦娥一号”卫星，万有引力提供向心力
G＝m(R＋h)，得M＝ ②
根据题意G、R、h、T已知，由①②式可求出月球表面的重力加速度，A可求出；由于不知卫星的质量，月球对卫星的吸引力不能求出：由G＝ma＝m可得a＝G，v＝ ，故C、D可求出，答案选B.
答案 B
6．(2011·天津高考)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响， 则航天器的
( )．
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析 由＝m＝mω2R＝mR＝mg＝ma得v＝，A对；ω＝，B错；T＝2π，C对；a＝，D错．故选A、C.
答案 AC
7．如图6-4-2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是
( )．
图6-4-2
A．a、b的线速度大小之比是 ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：
选项
内容指向、联系分析
结论
A
由＝m得＝ ＝ ＝
错误
B
由＝mr得＝ ＝
错误
C
由＝mrω2得＝＝
正确
D
由＝ma得＝＝
正确
答案 CD
知识点三 双星问题
8．月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
( )．
A．1∶6 400 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1
解析 双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M＝m，Mω2r1＝mω2r2，联立得＝＝，故C项正确．
答案 C
9．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为
( )．
A. B.
C. D.
解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有
G＝m1r1，得m2＝.
答案 D
10．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
( )．
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析 近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝mR，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103× kg/m3＝2.98×104 kg/m3，D项正确．
答案 D
11．已知地球半径约为6.4×106 m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多大．(结果只保留一位有效数字)
解析 设地球、月球质量分别为M、m，月球到地心的距离为r，则G＝mr.
又因为物体在地球表面上的重力近似等于地球对它的引力，设物体的质量为m′，有：
m′g＝G，
解得r＝，代入数据得r≈4×108 m.
答案 4×108 m
12．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度．
解析 设二者轨迹圆的圆心为O.圆半径分别为R1和R2.
由万有引力提供向心力有：
G ＝m1ω2R1 ①
G ＝m2ω2R2 ②
(1)①②两式相除，得＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
(3)由几何关系知：R1＋R2＝L ③
联立①②③式解得：ω＝ .
答案 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
13．图6-4-3为中国月球探测工程的形象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x；通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
图6-4-3
(1)月球表面的重力加速度g月；
(2)月球的质量M；
(3)环绕月球表面的宇宙飞船的速率v是多少？
解析 (1)设月球表面重力加速度g月，取水平抛出的物体为研究对象，有：h＝g月t2，x＝v0t，解得g月＝.
(2)取月球表面上的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即mg月＝，解得：M＝＝.
(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动的半径为R，万有引力充当向心力，故有：＝(m′为飞船质量)
所以v＝ ＝＝.
答案 (1) (2) (3)
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