竖直平面内的圆周运动的临界问题 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。 临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。 １．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。　　 （注意：绳对小球只能产生拉力） （1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用 mg =


=
（2）小球能过最高点条件：v ≥
（当v >
时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力） （3）不能过最高点条件：v <
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况　　 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） （1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力） （2）当0< v <
时，F随v增大而减小，且mg > F > 0（F为支持力） （3）当v =
时，F=0 （4）当v >
时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力） 【案例剖析】 例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度
，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ） A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg C．开始运动时，绳的拉力为
D．球过最高点时，速度大小为
解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即
，
，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，
，
，所以，A、B、C均不正确。故选：D 例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端 O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是 （ ） A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为
C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，
，故B不正确；当
时，F = 0故A正确。当0< v <
时，mg > F > 0，F为支持力故D正确。当v >
时，F >0，F为拉力，故C不正确。故选：A、D 例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，求： （１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？ （２）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？ 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：
，则最小速率
m/s = 2m/s （2）水在最高点速率大于v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F + mg =
， F =
mg = 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F/＝F = 6.25N，方向竖直向上。 【知识链接】 如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400km）。地面上有一辆汽车，重量是G = mg，地面对它的支持力是F。汽车沿南北方向行驶，不断加速。根据上面的分析，汽车速度越大，地 面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压 力是多少？他这时可能有什么感觉？（g取10m/
） 【目标达成】 1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ） A．是拉力 B．是推力 C．等于零 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零 解析：到最高点临界速度为
，当
时，F＝0；当
时，F为拉力。故选：A、C 2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当
时，
，此时为推力，当
，
，此时为拉力。故选：A、B 3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是 （ ） A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．v由
逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大 解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度
， A错；由
得，v增大，
增大， B对；当0< v <
时，弹力F随v减小而增大（F为支持力），当v >
时，F随v增大而增大（F为拉力）, C错，D对。故选：B、D 4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ） A．0 B．mg C．3mg D．5mg 解析：到最高点临界速度为v，则：
；当速度为2v时，则：
（F为压力）；由上两式解得：F = 3mg。故选：C 5．长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为
和
，细线所受拉力分别为
、
，则 （ ） A．
=
B．
= 0 C．
= 5mg D．
= 0 解析：小球恰能通过最高点，细线拉力
= 0，有
，得
=
；由机械能守恒得：
，解得：
=
；通过最低点时，有
，解得
。故选：A 、D 6．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度
必须满足的条件为 （ ） A．
≥
B．
≥
C．
≥2
D．
≥
解析：小球到最高点速度
≥0，由机械能守恒得：
，解得：
≥2
。故选：C 7．如图6-11-7所示，一个高为h的斜面，与半径为R的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B而不落下，则斜面的高度h应为多大？ 解析：小球到达顶端B速度为v，则：
解得：v≥
，由机械能守恒得：
解得：
8．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求： （1）小球在最高点A时速度
为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？ （2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？ （3）如m = 0.5kg, L = 0.5m,
= 0.4m/s, 则在最高点A和最低点B时, 杆对小球m的作用力各是多大? 是推力还是拉力? 解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆 周运动的向心力由重力mg提供，
解得：
(2) 若小球m在最高点A时受拉力F，则
解得
若小球m在最高点A时受推力F，则
解得：
可见
是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度. (3) 杆长L = 0.5m时，临界速度
m/s =2.2 m/s，
= 0.4m/s <
,杆对小球有推力
。由
解得：
＝（
）N = 4.84N，由A到B只有重力做功，机械能守恒，设B点所处水平面为参考面，则有
解得：
m/s = 4.5m/s，在最低点B，小球m受拉力
，由
解得
N = 25.3N 【拓展提高】 9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水 平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入 圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终 通过最高点D，则小球在通过D点后 （ ） A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上 解析：小球刚好能过最高点时速度v =
，离开D后作平抛运动，下落高度为R时间为t =
，水平位移x = vt =
>R，所以，小球一定落在AE上。故选：A 10．如图6-9-10所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放 置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度
射入圆管。 （1）若要小球能从C端出来，初速度
多大？ （2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度
各应满足什么条件？ 解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是
，此时需要初速度为
，由机械能守恒 ：
得
, 因此要使小球能从C端出来需
，故入射速度
（2）小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识
由机械能守恒定律：
联立解得
②对下管壁有压力，此时应有
，相应的入射速度
应满足
③对上管壁有压力，此时应有
，相应的入射速度
应满足

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