带电粒子在复合场中的运动
1．如图所示，P、Q是两个电量相等的异种点电荷，其中P带正电，Q带负电，Q是P、Q连线的中点，MN是线段PQ的中垂线，PQ 与MN所在平面与纸面平行，有一磁场方向垂直于纸面，一电子以初速度v0仅在电场力与洛仑兹力的作用下沿直线MN运动，则
A．磁场的方向垂直纸面向里 B．电子速度先增大后减少
C．电子做匀速直线运动 D．该磁场为匀强磁场
2．如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则
A．经过最高点时，三个小球的速度相等 B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高 D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
3．如图，左边矩形区域内，有场强为E0的竖直向下的匀强电场和磁感应强度为B0的垂直纸面向里的匀强磁场，电荷量为q、质量不同的带正电的粒子（不计重力），沿图中左侧的水平中线射入，并水平穿过该区域，再垂直射入右边磁感应强度为B的匀强磁场区域，该区域磁场边界为AA′、BB′，方向垂直纸面向外，左右宽为a，上下足够长．
⑴ 求带电粒子速度的大小v；
⑵ 如果带电粒子都能从AA′ 边界垂直进入后又返回到AA′ 边界，则带电粒子的质量在什么范围？
⑶ 如果带电粒子能与BB′ 边界成600角射出磁场区域，则该带点粒子的质量是多少？
4．静电喷漆技术具有效率高、质量好、有益于健康等优点，其装置可简化如图．A、B为水平放置的间距d = 0.9 m的两块足够大的平行金属板，两板间有方向由B指向A的匀强电场,电场强度为E = 0.1 V/m．在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P，油漆喷枪可向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0 = 8 m/s的油漆微粒，已知油漆微粒的质量均为m = 1×10-5 kg、电荷量均为q = – 1×10-3 C不计空气阻力，油漆微粒最后都能落在金属板B上．
⑴ 求由喷枪P喷出的油漆微粒到达B板的最短时间；
⑵ 求油漆微粒落在B板上所形成的图形面积；
⑶ 若让A、B两板间的电场反向，并在两板间加垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B = 0.16T调节喷枪使油漆微粒只能在纸面内沿各个方向喷出，其它条件不变．试求B板被油漆微粒打中的区域的长度．
5．如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调的匀强磁场．M、N为两块中心开有小孔的距离很近的极板，板间距离为d，每当带电粒子经过M、N板时，都会被加速，加速电压均为U；每当粒子飞离电场后，M、N板间的电势差立即变为零．粒子在电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径R不变．当t = 0时，质量为m、电荷量为 +q的粒子静止在M板小孔处．
⑴ 求粒子绕行n圈回到M板时的速度大小vn；
⑵ 为使粒子始终在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时磁感应强度Bn的大小；
⑶ 求粒子绕行n圈所需总时间t总．
6．在xOy平面内，y轴左侧有一个方向竖直向下，水平宽度为 l =×10－2m，电场强度E = 1.0×l04 N/C的匀强电场．在y轴右侧有一个圆心位于x轴上，半径r = 0.01 m的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B = 0.01 T，坐标为x0 = 0.04 m处有一垂直于x轴的面积足够大的竖直荧光屏PQ．今有一束带正电的粒子从电场左侧沿 +x方向射入电场，穿过电场时恰好通过坐标原点，速度大小v = 2×l06 m/s，方向与x轴成30° 斜向下，若粒子的质量m = l.0×l0－20kg，电荷量q = 1.0×10－10C，粒子的重力不计．试求：
⑴ 粒子射入电场时位置的纵坐标和初速度大小；
⑵ 粒子在圆形磁场中运动的时间；
⑶ 若圆形磁场可沿x轴移动，圆心O′ 在x轴上的移动范围为[0.01，+∞），由于磁场位置的不同，导致该粒子打在荧光屏上的位置也不同，试求粒子打在荧光屏上的范围．
7．如图（a）所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘板的中心Ｏ的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半．绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻质弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上．边界GH左边存在着正交的匀强电场和变化的磁场，电场强度为E，磁感应强度变化情况如图（b）所示，磁感应强度大小均为B．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速滑过平台后在t = 0时刻垂直于边界GH进入复合场中，设小球刚进入复合场时磁场方向向外且为正值．小球做圆周运动至O点处恰好与绝缘板发生弹性碰撞，碰撞后小球立即垂直于边界GH返回并滑上低一级平台，绝缘板从C开始向右压缩弹簧的最大距离为S到达D，求：
⑴ 磁场变化的周期T；
⑵ 小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
⑶ 绝缘板的质量M；
⑷ 绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能EP．
8．如图所示的坐标系xOy中，x ＜ 0，y ＞ 0的区域内有沿x轴正方向的匀强电场，x ≥ 0的区域内有垂直于xOy坐标平面向外的匀强磁场，x轴上A点坐标为（– L，0），y轴上B点的坐标为（0，）．有一个带正电的粒子从A点以初速度vA沿y轴正方向射入匀强电场区域，经过B点进入匀强磁场区域，然后经x轴上的C点（图中未画出）运动到坐标原点O．不计重力．求：
⑴ 粒子在B点的速度vB是多大；
⑵ C点与O点的距离xc是多大；
⑶ 匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度的比值是多大？
参考答案：
1．AC；一电子以初速度v0仅在电场力与洛仑兹力的作用下沿直线MN运动，所受洛伦兹力和电场力一定等大反向．由于P、Q产生的电场沿直线MN处费匀强电场，所以该磁场为非匀强磁场，由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向里，电子做匀速直线运动，选项AC正确BD错误．
2．BD；由于洛伦兹力不做功，运动过程中三个小球的机械能均保持不变，选项D正确；经过最高点时，甲球的速度最小，乙球速度最大，选项A错误B正确；甲球的释放位置比乙球的低，选项C错误．
3．⑴ 矩形区域是速度选择器，由力的平衡条件，得qE0 = qvB0 得v = E0/B0．
⑵ 如果带电粒子都能AA′ 的边界出来，则带电粒子在磁场区域中做匀速圆周运动最大的轨迹如图中所示．由几何关系，有：R1 = a；带电粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律，有：qvB = m1v2/R1；联立得m1 = aqBB0/E0，即带电粒子都能从三角形的竖直线上向左射出，则带电粒子的质量m1 < aqBB0/E0．
⑶如果带电粒子都能与BB′ 成60°射出，如图，带电粒子在三角形区域中做匀速圆周运动最大的轨迹如图中Ⅱ所示（Q点与右上边相切）．由几何关系，有：R2 = 2a； 带电粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律，有：qvB = m2v2/R2；联立得m2 = 2aqBB0/E0．
4．⑴ 分析知竖直向下喷出的微粒到B板所用时间最短．对微粒由牛顿定律知qE + mg = ma；由运动学公式知d = v0t + at2/2；代入数据可得a = 20 m/s2、t = 0.1 s．
⑵ 分析知所形成的图形为圆形，圆形的半径为沿水平方向喷出的粒子的水平位移的大小对沿水平方向喷出的粒子分析．竖直方向上d = at′2/2、水平方向上l = v0t′，代入数据可得t′ = 0.3、l = 2.4 m；所以圆形面积为s = πl2 ≈ 18 m2．
⑶ 因为微粒在两板间满足qE = mg 所以微粒做匀速圆周运动；设轨道半径为R，由牛顿定律知Bqv0 = mv02/R；代入数据可得R = 0.9 m．分析可知水平向右喷出的微粒能打到B板的右侧最远点并设该点为M点，P点正下方对应点为O点，则lOM = R = 0.9 m；竖直向下喷出的微粒轨迹与B板相切于N点，此点为所能打到的B板左侧最远点，则lON = R = 0.9 m，所以B板被油漆微粒打中的区域的长度为L = lOM + lON = 1.8 m．
5．⑴ 粒子绕行一圈电场做功一次，则nqU = mvn2即第n次回到M板时的速度为vn =．
⑵ 绕行第n圈的过程中，由牛顿第二定律 qBnvn = mvn2/R 得Bn = mvn/qR，代入速度vn 得到Bn：
Bn = ．
⑶ 粒子在每一圈的运动过程中，包括在MN板间加速过程和在磁场中圆周运动过程．在MN板间经历n次加速过程中，因为电场力大小相同，故有 nd = (1/2)(qU/md)t2电，即加速n次的总时间
t电 = d ；而粒子在做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用时间为，由于每一圈速度不同，所以每一圈所需时间也不同．
第1圈：qU = mv12得v1 = 、t1 = = (2π – d)
第2圈：2qU = mv22得v2 = 、t1 = = (2π – d)
……
第n圈：nqU = mvn2得vn = 、tn = = (2π – d)
故绕行n圈过程中在磁场里运动的时间 t = t1 + t2 + …… + tn
则t = (2π – d) (1 +++ …… +)
综上粒子绕行n圈所需总时间 t总 = t电 + t，即：
t总 = d + (2π – d) (1 +++ …… +)．
6．⑴ 如图所示，根据题意，粒子沿AB方向进入电场后做类平抛运动，在O点将v沿x、y方向分解得v0＝ vcos30° ＝ ×106m/s；将v方向反向延长，交AB于C点，根据类平抛运动特点知：CB = = ×10－2m、OB = CBtan30° = 0.5×10－2m，所以粒子射入电场时位置的纵坐标为 y = 0.5×10－2m．
⑵ 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由于洛伦兹力提供向心力，则有：qvB = mv2/R，解得：其轨道半径为R = 2×10－2m = 2r．根据题意分析可知，粒子从坐标原点直接进入圆形匀强磁场时，由于R = 2r，根据对称粒子一定从直径上的最右端点D点射出磁场，此时其轨迹对应的圆心角为60°，由于粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T = 2πm/qB，所以粒子在圆形匀强磁场中运动的时间为t = T/6 = 1.05×10－8s．
⑶ 若圆心O′ 在x = 0.01m时，由几何关系和对称关系可知此时出射位置为D点，轨迹如图所示，所以粒子打在荧光屏最高位置的纵坐标为：y1 = (x0–2r)tan30° ≈ 1.15×10－2m；随着磁场向右移动，荧光屏光点位置逐渐下移，当v方向与磁场圆形区域相切后，粒子将打在荧光屏的最低位置．其最低位置的纵坐标为y2 = –x0tan30° ≈ – 2.31×10－2m；故粒子打在荧光屏上的纵坐标的范围为：
[–2.31×10－2，1.15×10－2]．
7．⑴ 带电小球垂直于边界GH进入复合场，运动到O点恰与绝缘板碰撞，碰后能返回平台，说明小球在复合场中 qE = mg；洛仑兹力做匀速圆周运动的向心力，且经过半个圆周到达Ｏ点，碰后再经过半个周期回到二级平台．由 qvB = mv2/r、T = 2πr/v；得到带电粒子在磁场运动的周期公式T = 2πm/qB = 2πE/gB．
⑵ 由牛顿第二定律有qvB = mv2/r，由几何关系有r = h/2解得v = gBh/2E．
⑶ 设小球碰撞后的速度大小为V，绝缘板的速度大小为Vm．则题意可知，小球返回的半径 r′ = r/2 = h/4，又根据r = mv/qB 可得 V = v/2；小球与绝缘板碰撞过程中，以小球和绝缘板为系统，动量守恒，有mv = – mV + MVm 而小球与绝缘板发生的是弹性碰撞，它们构成的系统机械能守恒，有
mv2/2 = mV 2/2 + MVm2/2 联立解得 M = 3m．
⑷ 绝缘板从Ｃ点运动至Ｄ点的过程中，根据功能关系有 Ep + μMgS = MVm2/2 联立解得Ep = 3m(gBh)2/32E2 – 3μmgS．
8．⑴ 设粒子在A到B的过程中运动时间为t，在B点时速度沿x轴正方向的速度大小为vx，则
解得vB＝2vA
⑵ 设粒子在B点的速度vB与y轴正方向的夹角为θ，则 tanθ = vx/vy，
解得θ＝60o；粒子在x≥0的区域内做匀速圆周运动，运动轨迹如图
所示，设轨道半径为R，由几何关系有
xc＝2Rcosθ xc＝2L/3
（或者通过判断BC 是直径，△OO1C是等边三角形，由xc＝R得到xc＝2L/3）
⑶ 设匀强电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，粒子质量为m，带电荷量为q，则
qEL = mvB2/2 – mvA2/2 qvBB = mvB2/R 解得 E/B = vA/2．
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