河南2014年高考一轮复习导学案——曲线运动五
【课 题】§6.5圆周运动综合分析
【学习目标】
掌握竖直平面内的圆周运动、临界问题及多解问题．
【知识要点】
1．竖直平面内的变速圆周运动
竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态．
?
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
是没有物体支撑着小球
均是有物体支撑着小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
小球能运动即可，也就是v临＝0
讨
论
分
析
(1)过最高点时，v≥，F＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力F
(2)v<不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
说
明
(1)绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力．
(2)对于杆模型，在最高点时，如果不知是支撑力还是拉力，此时可假设，然后根据其方向再确定.
【典型例题】
【例1】长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A质量为m＝2 kg，如图所示，求在下列两种情况下当A通过最高点时，杆对小球的力(取g＝10 m/s2)：
(1)A在最低点的速率为 m/s；
(2)A在最低点的速度为6 m/s.
【例2】如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是( )
A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)g
B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg
C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m＋M)g
【例3】 如图所示，小球被长为L的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？
【例4】如右图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，(g取10 m/s2)试计算：
(1)小球通过最高点A的最小速度；
(2)若细绳的拉力为Fmax＝10 N，小球在最低点B的最大速度是多少？
【能力训练】
1. (2012·嘉兴联考)如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度使它做圆周运动．图a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点．则杆对球的作用力的判断正确的是( )
①a处为拉力，b处为拉力 ②a处为拉力，b处为推力
③a处为推力，b处为拉力 ④a处为推力，b处为推力
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
2．(2012·常州模拟)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，下列说法错误的是( )
A．小球线速度没有变化
B．小球的角速度突然增大到原来的2倍
C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍
D．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍
3. (2011·济南模拟)如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并沿水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度大小合适，螺丝帽恰好不下滑．假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝
D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
4. 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
5. 滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以7 m/s的初速度从曲面的A点下滑，运动到B点速度仍为7 m/s，若他以6 m/s的初速度仍由A点下滑，则他运动到B点时的速度(设人体姿式保持不变)( )
A．大于6 m/s B．等于6 m/s
C．小于6 m/s D．条件不足，无法计算
6．(2011·海南海口检测)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动．关于最高点的速度v，下列说法正确的是( )
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐增大时，杆对球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对球的弹力逐渐增大
7.如右图所示，长度L＝0.50 m的轻质杆OA，A端固定一个质量为m＝3.0 kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动．通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时轻杆OA( )
A．受到6.0 N的拉力
B．受到6.0 N的压力
C．受到24 N的拉力
D．受到54 N的压力
8．(2011·陕西省西安市统测)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
9．(2011·南昌调研)如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速率为v时，两段轻质线中张力恰好均为零，若小球到达最高点的速率为2v，则此时每段轻质线中张力为多少？(重力加速度为g)
10. 如下图所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．求：
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到如图所示(球心与O点位于同一水平面上)时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
例题答案：
1. 【答案】 (1)杆对A施加的是向上的16 N的支持力
(2)杆对A施加的是向下的44 N的拉力
解析 物体A由最低点到最高点的过程满足机械能守恒定律：mv2＋mg·2L＝mv
假设细杆对A的弹力F向下，
则A的受力如图所示．
以A为研究对象，
在最高点有mg＋F＝m
所以F＝m(－g)．
(1)当v0＝ m/s时，代入上式得v＝1 m/s
F＝2×(－10) N＝－16 N
负值说明F的实际方向与假设的向下的方向相反，即杆对A向上的16 N的支持力．
(2)当v0＝6 m/s时，代入上式得v＝4 m/s
F＝2×(－10) N＝44 N
正值说明杆对A施加的是向下的44 N的拉力．
2. 解析 BD 在释放前的瞬间绳拉力为零，对M：对地面的压力F＝Mg；
当摆球运动到最低点时，由机械能守恒得
mgR＝mv2 ①
由牛顿第二定律得：FT－mg＝m ②
由①②得绳对小球的拉力FT＝3mg
对支架M由受力平衡，地面支持力FN＝Mg＋3mg
由牛顿第三定律知，支架对地面的压力FN2＝3mg＋Mg，故选项B、D正确．
3. 【答案】 v0≥或v0≤
【正确解答】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况：
(1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动．此时小球在最高点有最小速度v＝，设最低点的速度为v1，则由机械能守恒定律有mv＝mv2＋2mgL
满足此条件的水平速度为v0≥v1＝.
(2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完整的圆周运动．此时小球在最高点运动的速度为零，这意味着小球的初速度存在某个最大值v2，则mv＝mgL
满足此条件的速度为v0≤v2＝.
故水平初速度v0的范围为：v0≥或v0≤.
4. [答案] (1)2 m/s (2)6 m/s
[解析] (1)小球通过最高点A的最小速度就是绳子上拉力为零的时候，所以有：
mgsinα＝m.
代入数据可得最小速度：vA＝2 m/s.
(2)小球在最低点B的最大速度满足的条件：
Fmax－mgsinα＝m.
代入数据可得最大速度vB＝6 m/s.
能力训练答案 ：
1. 解析 A 小球在竖直平面内做圆周运动，在最低点时小球受力除重力外，还受杆的作用力，只有杆对小球的作用力向上且大于重力时，小球才能绕O点做圆周运动．故在a点杆对小球只能是拉力；小球在b点的速度大小不能确定，杆对小球可能是向下的拉力，也可能是向上的推力，选项A正确．
2. 解析 D 在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，小球的切向加速度等于零，因此小球的线速度不会发生变化，选项A正确；在线速度不变时，半径r突然减小到原来的一半，由v＝ωr可知角速度增大为原来的2倍，选项B正确；由a＝，可知向心加速度增大到原来的2倍，选项C正确；在最低点有F－mg＝ma，可知选项D错误．
3. 解析 A 由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mg＝Ff＝μFN＝μmrω2，得ω＝，选项A正确，选项B、C错误；杆的转动速度增大时，杆对螺丝帽的弹力增大，静摩擦力与重力相平衡，螺丝帽不可能相对杆发生运动，选项D错误．
4. 解析 BC 本题考查轻杆模型，小球在最高点既可以受内侧管壁的支持力，也可以受外侧管壁的压力，所以对最高点的速度没有限制，选项A错误，选项B正确；小球在ab以下运动时，只受重力和外侧壁的支持力，选项C正确；小球在ab以上运动时，速度足够大时受外侧壁的压力，不够大时受内侧壁的支持力，选项D错误．
5. 解析 A 因为人以7 m/s的速度下滑时，在A、B两点的动能相等，根据能量守恒可知，摩擦力所做的功等于A、B两点间的重力势能差，即W＝mgh.当速度减小时，所需向心力减小，人对曲面的压力减小，摩擦力减小，摩擦力做功也减少，故人到达B点时的动能比在A点时的大，故选项A正确．
6. [答案] BCD
[解析] 由于mg＋FN＝M知当FN＝0时，v＝，当v＝时杆表现为推力，当v>时杆为拉力．
7. [答案] B
[解析] 设杆转到最高点球恰好对杆的作用力为零时，球的速度为v，则有mg＝m，其中R＝0.50 m，则v＝＝ m/s，因为 m/s>2 m/s，所以杆受到压力作用．对小球有mg－FN＝m，所以FN＝mg－m＝3.0×10 N－3.0× N＝6 N．故选项B正确．
8. BCD
解析：[小球经过最高点时刚好不脱离圆环，重力正好全部用来提供向心力，小球对圆环无压力，即Fn＝mg＝m＝ma，所以v＝，a＝g，故B、C、D正确．]
9. [解析] 设小球做圆周运动的半径为R，当速率为v时，满足mg＝
当速率为2v时，满足mg＋F＝
解得F＝3mg
设每根轻质线上的张力为T，满足：2Tcos＝3mg
解得T＝mg
10.【解析】 (1)小球随盒子在竖直平面内做匀速圆周运动，在最高点，小球受重力和盒子的上、下底面对它的支持力或压力．当盒子对小球无作用力时，只有重力提供向心力：
mg＝m
v＝
则T＝2π.
(2)盒子运动到与O在同一水平面上时，沿半径方向，盒子的右侧面对小球有指向圆心的压力FN1提供向心力．即：
FN1＝m
v1＝
∴FN1＝4mg.
竖直方向：盒子下底面对小球有支持力FN2，
FN2＝mg.
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