河南2014年高考一轮复习导学案——万有引力与航天一
【课 题】§7.1万有引力定律与天体运动
【学习目标】
1．理解万有引力定律，知道其内容及适用条件；
2．会运用万有引力定律分析有关天体运动问题．
【知识要点】
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在所有椭圆的___________________．
2．开普勒第二定律
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的_____________跟________的比值都相等，即_________________．
二、万有引力定律
1．内容：两个物体之间的万有引力定律的大小，跟它们质量的乘积成____________，跟它们之间距离的平方成_____________．
2．公式：F=Gm1m2/R2，其中G=___________________，叫做万有引力恒量．由英国科学家____________________用扭秤装置第一次精确测定．
3．适用条件：严格来说公式只适用于_______________的相互作用．
4．万有引力在天体运动中的应用
(1)基本思路
①在任何情况下总满足条件：______________________．
即：GMm/r2=mv2/r=mω2r=m(4π2/T2)r=m(4π2n2)r=mωv．
②当不考虑天体的自转时：______________________．
即mg=mv2/r=mω2r=m(4π2/T2)r=m(4π2n2)r=mωv．g是运动天体的重力加速度．
(2)天体质量、密度的估算
测出围绕天体表面运行的行星或卫星的运动半径R和绕行周期T，M=_________________；
测出围绕天体表面运行的行星或卫星的运动半径R和绕行速度v，M=_________________；
测出围绕天体表面运行的行星或卫星的运动半径R和天体表面重力加速度g，
M=_________________．
结合M=ρ(4πR3/3)，可求天体密度．
5．地球上物体重量的变化
(1)物体重量随纬度的升高略有增加．
(2)同一纬度物体重量随高度的增加而减少．在忽略地球自转因素的前提下，地球表面的重力加速度g=GM/R2，离地面高为h处的重力加速度g'=GM/(R＋h)2．即：g/g'=(R＋h)2/R．
(3)太阳系不同行星表面重力加速度的关系：
由引力≈重力 有 g1=GM/R12，g2=GM/R22，两式相比得g1/g2=M1R22/M2R12．
【典型例题】
【例题1】关于开普勒行星运动的公式R3/T2=K ，以下理解正确的是( )
A．K是一个与行星无关的常量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地； 月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则R地3／ T地2＝ R月3／ T月2
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
【例题2】某行星的卫星在靠近行星的轨道上运转，若计算该行星的密度，唯一需要测出的物理量是( )(引力恒量G为已知)
A．行星的半径 B．卫星轨道半径
C．卫星运行的线速度 D．卫星运行的周期
【例题3】（2012苏北四市二模）．美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星—“开普勒-22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍。已知万有引力常量和地球表面的重力加速度。根据以上信息，下列推理中正确的是
A．若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力
B．若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径
C．根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径
D．若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度
【例题4】（2012栟茶高三年级第二次调研）．美国宇航局科学家观测发现银河系内至少有500亿颗行星，若某一行星绕其中央恒星做圆周运动周期为地球公转周期800倍，该行星到恒星距离是地球到太阳距离40倍．利用以上数据，可以求出的量有( ▲ )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．行星质量与地球质量之比
C．恒星自转周期与太阳自转周期之比
D．行星公转速度与地球公转速度之比
【例题5】已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天．利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对地球与地球对月球的万有引力的比值约为多少？
【能力训练】
1．（09年上海物理）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿( )
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F(m的结论
C．根据F(m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F(m1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
2.假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球面处的重力加速度g地之比g火/g地等于( )
A.p/q2 B.pq2
C.p/q D.pq
3．（09年江苏物理）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A． B． C． D．
4．设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为( )
A．1 B．K C．K2 D．1/K
5.（09年浙江卷）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
6．（09安徽）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）
A. 甲的运行周期一定比乙的长
B. 甲距地面的高度一定比乙的高
C. 甲的向心力一定比乙的小
D. 甲的加速度一定比乙的大
7．太阳表面半径为R’，平均密度为ρ?′，地球表面半径和平均密度分别为R和ρ?，地球表面附近的重力加速度为g0 ，则太阳表面附近的重力加速度g′( )
A． B． C． D．
8.设人类开发月球，不断地将月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可视为均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则( )
A.地球对月球的万有引力将变大
B.地球对月球的万有引力将变小
C.月球绕地球运行的周期变大
D.月球绕地球运行的周期变小
9.（2012届上海南汇期区末）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）
A． B．
C． D．
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图2所示。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。
11．(12分)1990年5月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32 km。若该行星的密度和地球的密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？(已知地球半径R1＝6 400 km，地球的第一宇宙速度v1≈8 km/s)
例题答案：
1．AD
2．D
3. 答案：D
4. 答案：AD
5. 解析 由万有引力公式F＝G得太阳对地球与地球对月球的万有引力之比＝，再由G＝mr，可得＝，由以上两式可得＝＝≈2.
【答案】 2
能力训练答案 ：
1．AB 解析：题干要求“在创建万有引力定律的过程中”，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即F(m的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量G的大小，只与C项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有AB。
2．A
C
4.A
5. AD
6.D
7.
8.
9.A .解析：取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：G＝m1()2r1，得：m2＝，所以选项A正确。
10．答案：(1) (2) －R
解析：(1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，
根据牛顿第二定律G＝ma
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力
G＝mg
由以上两式得a＝
(2)设远地点B距地面高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
G＝m(R＋h2)
解得：h2＝ －R
11. 答案：20 m/s
解析：设小行星的第一宇宙速度为v2，其质量为M，地球质量为M0。则有
G＝m，v2＝ ，
而v1＝ ，
M＝ρπR3，M0＝ρπR03
故＝ ＝ ＝，
所以v2＝＝ km/s＝20 m/s。
该小行星的第一宇宙速度为20 m/s。
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