第2讲 磁场对运动电荷的作用
(对应学生用书第141页)
洛伦兹力的方向和大小
1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判断方法：左手定则
(2)方向特点：f⊥B，f⊥v.即f垂直于B和v决定的平面．(注意：B和v不一定垂直)．
3．洛伦兹力的大小
f＝qvBsin_θ，θ为v与B的夹角，如图8－2－1所示．
图8－2－1
(1)v∥B时，θ＝0°或180°，洛伦兹力f＝0.
(2)v⊥B时，θ＝90°，洛伦兹力f＝qvB.
(3)v＝0时，洛伦兹力f＝0.
【针对训练】
1．带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
【解析】 因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝qvB，当粒子速度与磁场平行时F＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A选项错．因为＋q改为－q且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小不变，所以B项正确．因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C选项错．因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D项错．
【答案】 B
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式
(1)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．根据牛顿第二定律，其表达式为qvB＝m.
(2)半径公式r＝，周期公式T＝.
【针对训练】
2．(2012·大纲全国高考)质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动．已知两粒子的动量大小相等．下列说法正确的是( )
A．若q1＝q2，则它们做圆周运动的半径一定相等
B．若m1＝m2，则它们做圆周运动的半径一定相等
C．若q1≠q2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
D．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
【解析】 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m得r＝，同一匀强磁场，即B相等，又因为两粒子的动量大小相等，所以有r∝，若q1＝q2，则r1＝r2，故A选项正确，B选项错误；由周期公式T＝，由于B相等，2π为常数，所以T∝，故C、D选项错误．
【答案】 A
(对应学生用书第142页)
对洛伦兹力的进一步理解
1.洛伦兹力和安培力的关系
洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现．
2．洛伦兹力方向的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．
3．洛伦兹力与电场力的比较
对应力内容比较项目
洛伦兹力f
电场力F
性质
磁场对在其中运动电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v与B不平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
f＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是f⊥B，f⊥v
正电荷所受电场力方向与电场方向相同，负电荷所受电场力方向与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
场的情况
f为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
(1)洛伦兹力方向与速度方向一定垂直，而电场力的方向与速度方向无必然联系．电场力的方向总是沿电场线的切线方向．
(2)安培力是洛伦兹力的宏观表现，但各自的表现形式不同，洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可以做正功，可以做负功，也可以不做功．
(2012·广东高考)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图8－2－2中虚线所示．下列表述正确的是( )
图8－2－2
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
【审题视点】 (1)两粒子在磁场中偏转方向相反，带电性质一定不同．
(2)两粒子在磁场中运动半径不同，半径越大，速度越大．
(3)洛伦兹力不做功，粒子的周期和粒子运动的半径、速度无关．
【解析】 由左手定则知M带负电，N带正电，选项A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且向心力F向＝F洛，即＝qvB得r＝，因为M、N的质量、电荷量都相等，且rM＞rN，所以vM＞vN，选项B错误；M、N运动过程中，F洛始终与v垂直，F洛不做功，选项C错误；由T＝知M、N两粒子做匀速圆周运动的周期相等且在磁场中的运动时间均为，选项D错误．
【答案】 A
【即学即用】
1．(2012·深圳调研)如图8－2－3所示，电子枪射出的电子束进入示波管，在示波管正下方有竖直放置的通电环形导线，则示波管中的电子束将( )
图8－2－3
A．向上偏转 B．向下偏转
C．向纸外偏转 D．向纸里偏转
【解析】 环形导线在示波管处产生的磁场方向垂直于纸面向外，由左手定则可判断，电子受到的洛伦兹力向上，故A正确．
【答案】 A
带电粒子在有界匀强磁场中的圆
周运动分析
1．运动特点
带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧．
2．圆心的确定
(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．
(2)常用的两种方法
①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－4所示，图中P为入射点，M为出射点)．
图8－2－4 图8－2－5
②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－5所示，P为入射点，M为出射点)．
(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动
①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8－2－6)
图8－2－6
②平行边界(存在临界条件，如图8－2－7)
图8－2－7
③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－8)
图8－2－8
3．半径的确定
(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．
(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
t＝T(或t＝T)．
(2012·安徽高考)如图8－2－9所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
图8－2－9
A.Δt B．2Δt C.Δt D．3Δt
【审题视点】 (1)带电粒子在圆形边界的匀强磁场中运动，沿半径方向进入磁场．
(2)确定了圆心角，就能确定粒子在磁场中的运动时间．
【解析】 设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，则根据qvB＝，得r1＝，根据几何关系得＝tan ，且φ1＝60°.
当带电粒子以v的速度进入时，轨道半径r2＝＝＝r1，圆心在O2，则＝tan .即tan ＝＝＝3tan ＝.
故＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t＝T，所以＝＝，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，选项A、C、D错误．
【答案】 B
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题程序——三步法
(1)画轨迹：即确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．
(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
【即学即用】
2．如图8－2－10所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABDC，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是( )
图8－2－10
A．入射速度越大的电子，其运动时间越长
B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长
C．从AB边出射的电子的运动时间都相等
D．从AC边出射的电子的运动时间都相等
【解析】 电子以不同的速度沿BC从B点射入磁场，若电子从AB边射出，画出其运动轨迹由几何关系可知在AB边射出的粒子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C对，A错；从AC边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，故在磁场中的运动时间不相等，B、D错．
【答案】 C
(对应学生用书第144页)
“圆形”有界磁场中的临界问题
图8－2－11
核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图8－2－11所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R1＝0.5 m，外半径R2＝1.0 m，磁感应强度B＝1.0 T，若被束缚带电粒子的比荷为＝4.0×107 C/m，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求：
(1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速度为多大？
(2)若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为多大？
【潜点探究】 (1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，刚好不穿出磁场，则粒子的轨迹必须要与外圆相切．
(2)当粒子的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，是所有粒子沿各个方向都不能穿越磁场的最大速度．
(3)画出粒子运动轨迹，利用几何关系找出粒子在磁场中运动的半径是解题的关键．
【规范解答】
甲
(1)轨迹如图甲所示．设粒子的轨道半径为r1.由几何知识得r＋R＝(R2－r1)2，得r1＝0.375 m
由牛顿第二定律qBv1＝m得v1＝1.5×107 m/s
所求粒子不能穿越磁场的最大速度为v1＝1.5×107 m/s.
乙
(2)设粒子的轨道半径为r2，如图乙所示．
由几何知识得r2＝＝0.25 m
由qBv2＝m
得v2＝1.0×107 m/s
即所有粒子不能穿越磁场的最大速度为1.0×107 m/s.
【答案】 (1)1.5×107 m/s (2)1.0×107 m/s
带电粒子在匀强磁场中运动问题的规范求解
(1)一般解题步骤
①分析磁场的边界条件，结合粒子进出磁场的条件画出带电粒子运动轨迹，确定圆心．根据几何关系求解半径、圆心角等．
②根据洛伦兹力提供向心力建立动力学方程，分析已知量和未知量的关系．
③求解未知量，并进行必要的分析验证．
(2)应注意的问题
①不同边界条件，粒子运动临界条件不同，应画图加以说明．
②所用几何关系不需要进行证明．
【即学即用】
3．(2013届黄冈中学质检)带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度l＝10 cm，如图8－2－12所示．
图8－2－12
(1)求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角；
(2)求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离．
【解析】 粒子所受的洛伦兹力F＝qvB＝8.7×10－14 N，远大于粒子所受的重力G＝1.7×10－26 N，因此重力可忽略不计．
(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s
由qvB＝m得轨道半径
r＝＝ m＝0.2 m
由图可知偏转角θ满足
sin θ＝＝＝0.5，故θ＝30°.
(2)带电粒子在磁场中运动的周期T＝
可见带电粒子在磁场中运动的时间t＝()T＝ T
t＝＝ s＝3.3×10－8 s
离开磁场时偏离入射方向的距离
d＝r(1－cos θ)＝0.2×(1－) m＝2.7×10－2 m.
【答案】 (1)3.2×106 m/s 30° (2)3.3×10－8 s 2.7×10－2 m
(对应学生用书第145页)
●洛伦兹力方向的判断
1．如图8－2－13所示，对应的四种情况中，对各粒子所受洛伦兹力的方向的描述，其中正确的是( )
图8－2－13
A．垂直于v向右下方 B．垂直于纸面向里
C．垂直于纸面向外 D．垂直于纸面向里
【解析】 由左手定则可判断A图中洛伦兹力方向垂直于v向左上方，B图中洛伦兹力垂直于纸面向里，C图中垂直于纸面向里，D图中垂直于纸面向里，故B、D正确，A、C错误．
【答案】 BD
●洛伦兹力的特点及效果
2．带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是( )
A．洛伦兹力对带电粒子做功
B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能
C．洛伦兹力的大小与速度无关
D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向
【解析】 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，A错，B对．根据F＝qvB，可知洛伦兹力的大小与速度有关，C错．洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小，D错．
【答案】 B
●带电粒子在匀强磁场中的运动
3．(2012·北京高考)处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )
A．与粒子电荷量成正比 B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比 D．与磁感应强度成正比
【解析】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，该粒子运动等效的环形电流I＝＝，由此可知，I∝q2，故选项A错误；I与速率无关，选项B错误；I∝，即I与m成反比，故选项C错误；I∝B，选项D正确．
【答案】 D
●带电粒子在直线单边界磁场的运动
4．(2012·咸阳检测)两个带电粒子以同一速度、同一位置进入匀强磁场，在磁场中它们的运动轨迹如图8－2－14所示．粒子a的运动轨迹半径为r1，粒子b的运动轨迹半径为r2，且r2＝2r1，q1、q2分别是粒子a、b所带的电荷量，则( )
图8－2－14
A．a带负电、b带正电，比荷之比为∶＝2∶1
B．a带负电、b带正电，比荷之比为∶＝1∶2
C．a带正电、b带负电，比荷之比为∶＝2∶1
D．a带正电、b带负电，比荷之比为∶＝1∶1
【解析】 根据磁场方向及两粒子在磁场中的偏转方向可判断出a、b分别带正、负电，根据半径之比可计算出比荷之比为2∶1.
【答案】 C
●带电粒子在磁场中运动的临界问题
5．(2013届珠海一中检测)如图8－2－15所示，直角三角形OAC(α＝30°)区域内有B＝0.5 T的匀强磁场，方向如图所示．两平行极板M、N接在电压为U的直流电源上，左板为高电势．一带正电的粒子从靠近M板由静止开始加速，从N板的小孔射出电场后，垂直OA的方向从P点进入磁场中．带电粒子的比荷为＝105 C/kg，OP间距离为L＝0.3 m．全过程不计粒子所受的重力，则：
图8－2－15
(1)若加速电压U＝120 V，通过计算说明粒子从三角形OAC的哪一边离开磁场？
(2)求粒子分别从OA、OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的时间．
【解析】
(1)如图所示，当带电粒子的轨迹与OC边相切时为临界状态，设临界半径为R，加速电压U0，则有：
R＋＝L，解得R＝0.1 m，
qU0＝mv2，qvB＝m，U0＝125 V，U＜U0，则r＜R，粒子从OA边射出．
(2)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝4π×10－5 s
当粒子从OA边射出时，粒子在磁场中恰好运动了半个周期，则t1＝＝2π×10－5 s
当粒子从OC边射出时，粒子在磁场中运动的时间小于周期，即t2≤＝×10－5 s.
【答案】 (1)OA边 (2)2π×10－5 s 小于或等于×10－5 s
【点此下载】