第3讲　带电粒子在复合场中的运动
(对应学生用书第146页)
带电粒子在复合场中的运动  1.组合场与复合场 (1)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并互不重叠，或在同一区域，但交替出现的情况． (2)复合场：电场与磁场在某一区域并存或电场、磁场和重力场在某一区域并存的情况． 2．三种场的不同点 力的特点 功和能的特点  重    力    场 (1)大小G＝mg   (2)方向竖直向下 (1)重力做功和路径无关   (2)重力做功改变物体的重力势能，重力做正功，重力势能减小    静    电    场 (1)大小：F＝qE   (2)方向：正电荷受力方向和电场强度方向相同，负电荷受力方向和电场强度方向相反 (1)电场力做功和路径无关   (2)电场力做功改变系统的电势能，电场力做正功，电势能减小    磁    场 (1)洛伦兹力：f＝qvB   (2)方向：左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变粒子的动能   3.带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态． (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动． (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．


【针对训练】 1.
图8－3－1 如图8－3－1所示，水平放置的平行金属板a、b带有等量正负电荷，a板带正电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电的粒子在两板间做直线运动，粒子的重力不计．关于粒子在两板间运动的情况，正确的是(　　) A．可能向右做匀加速直线运动 B．可能向左做匀加速直线运动 C．只能是向右做匀速直线运动 D．只能是向左做匀速直线运动 【解析】　经受力分析可知电场力向下，洛伦兹力必向上，则速度向右；洛伦兹力与速度大小有关，因此只能为匀速直线运动． 【答案】　C
质谱仪和回旋加速器  1.质谱仪 (1)构造：如图8－3－2所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等组成．
图8－3－2 (2)原理：粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理qU＝mv2可知进入磁场的速度v＝ .粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，qBv＝.由以上几式可得出需要研究的物理量，如：粒子轨迹半径、粒子质量、比荷等． 2.
图8－3－3 回旋加速器 (1)构造：如图8－3－3所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中． (2)原理：交变电流的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速．由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关． 【针对训练】 2．1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图8－3－4所示．这台加速器由两个铜质D形盒构成，其间留有空隙．下列说法正确的是(　　)
图8－3－4 A．离子由加速器的中心附近进入加速器 B．离子由加速器的边缘进入加速器 C．离子从磁场中获得能量 D．离子从电场中获得能量 【解析】　离子在磁场中做匀速圆周运动，速度越大，轨道半径越大，所以离子要从加速器的中心附近进入加速器．洛伦兹力总是垂直于速度的方向，所以磁场是不对离子做功的，它的作用只是改变离子的速度方向，而电场的作用才是加速离子，使之获得能量．由此可见，选项A、D是正确的． 【答案】　AD
带电粒子在复合场中运动的应用实例  1.速度选择器 平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．
图8－3－5 2．磁流体发电机 磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能．
图8－3－6 3．电磁流量计 导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差．根据a、b间电势差的大小可测量出管中液体的流量．
图8－3－7 4．霍尔效应 在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现了电势差，这种现象称为霍尔效应．
图8－3－8 【针对训练】 3.
图8－3－9 如图8－3－9所示，a、b是位于真空中的平行金属板，a板带正电，b板带负电，两板之间的电场为匀强电场，场强为E.同时在两板之间的空间中加匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一束电子以大小为v0的速度从左边S处沿图中虚线方向入射，虚线平行于两板．要想使电子在两板间能沿虚线运动，则v0、 E、B之间的关系应该是(　　) A．v0＝　　　　　　　　B．v0＝ C．v0＝  D．v0＝  【解析】　电子沿直线运动时，必有Eq＝Bv0q，故v0＝，A正确． 【答案】　A
(对应学生用书第147页)
带电粒子在有界组合场中的运动  1.组合场具有阶段性，解答问题时要根据粒子所处的不同场中受力情况，运动情况的不同，分别选择不同的运动规律解题． 2．带电粒子在电场中运动一般分为两种情况 (1)加速：根据动能定理．qU＝mv－mv. (2)偏转：根据类平抛运动的解题方法． 3．带电粒子在磁场中的运动要根据磁场的边界条件，几何关系和圆周运动知识解答．
　(2012·山东高考)如图8－3－10甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0.在t＝0时刻将一个质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区．(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)
图8－3－10 (1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d； (2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件； (3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t＝3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小． 【审题视点】　(1)粒子通过S1S2的时间恰为，与u－t图象的变化规律相对应，故粒子做匀加速运动． (2)粒子恰好不与极板相撞的条件是2R＝. (3)粒子经过极板下无电场区域时不受外力作用，故做匀速直线运动，粒子在这一阶段的运动是审题中易出错的关键点． 【解析】　(1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得 qU0＝mv2① 由①式得v＝② 设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得q＝ma③ 由运动学公式得d＝a2④ 联立③④式得d＝ .⑤ (2)设磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝m⑥ 要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，需满足2R＞⑦ 联立②⑥⑦式得B＜ .⑧ (3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有d＝vt1⑨ 联立②⑤⑨式得t1＝⑩ 若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得d＝t2? 联立⑨⑩?式得t2＝? 设粒子在磁场中运动的时间为t t＝3T0－－t1－t2? 联立⑩??式得t＝? 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由⑥式结合运动学公式得T＝? 由题意可知T＝t? 联立???式得B＝.? 【答案】　(1) 　　(2)B＜ (3)　 【即学即用】 1．(2012·杭州模拟)如图8－3－11所示，电子显像管由电子枪、加速电场、偏转磁场及荧光屏组成．在加速电场右侧有相距为d、长为l的两平板，两平板构成的矩形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界与荧光屏之间的距离也为d.荧光屏中点O与加速电极上两小孔S1、S2位于两板的中线上．从电子枪发射质量为m、电荷量为－e的电子，经电压为U0的加速电场后从小孔S2射出，经磁场偏转后，最后打到荧光屏上．若l＝d，不计电子在进入加速电场前的速度．
图8－3－11 (1)求电子进入磁场时的速度大小； (2)求电子到达荧光屏的位置与O点距离的最大值ym和磁感应强度B的大小． 【解析】　(1)设电子经电场加速后的速度大小为v0，由动能定理得 eU0＝mv① v0＝ ②
(2)电子经磁场偏转后，沿直线运动到荧光屏，电子偏转的临界状态是恰好不撞在上板的右端，到达荧光屏的位置与O点距离即为最大值ym，如图所示，有 ev0B＝③ (R－)2＋l2＝R2④ tan α＝＝tan θ＝⑤ 注意到l＝d，v0＝ ，联立上式可得 R＝d ym＝⑥ B＝＝ ⑦ 【答案】　(1) 　(2)　 
带电粒子在复合场中运动问题的分析  1.是否考虑带电粒子的重力，一要看题目的具体要求，二要看粒子的种类． 2．正确受力分析，根据受力特点确定是平衡问题、动力学问题还是功能关系问题． 3．画出粒子运动轨迹，分清直线运动、圆周运动或比较复杂的曲线运动，找出临界点，深挖隐含条件．
　
图8－3－12 如图8－3－12所示，在长方形abcd区域内有正交的电磁场，ab＝bc/2＝L，一带电粒子从ad的中点垂直于电场和磁场方向射入，恰沿直线从bc边的中点P射出，若撤去磁场，则粒子从c点射出；若撤去电场，则粒子将(重力不计)(　　) A．从b点射出 B．从b、P间某点射出 C．从a点射出 D．从a、b间某点射出 【审题视点】　(1)由带电粒子在复合场中能沿直线运动可确定电场力和洛伦兹力平衡． (2)由带电粒子在电场中运动，从c点射出，找出粒子在磁场中运动时求解半径的条件． (3)根据带电粒子在磁场中运动半径判断粒子的射出点． 【解析】　粒子在复合场中沿直线运动，则qE＝qv0B，当撤去磁场时，L＝at2，t＝，a＝.撤去电场时，qv0B＝，可以求出r＝L.故粒子从a点射出，C正确． 【答案】　C
带电粒子在复合场中运动的综合分析 这类问题综合了带电粒子在电场和磁场组成的复合场中的匀速直线运动、电场中的类平抛运动、磁场中的匀速圆周运动三个方面． (1)在电场和磁场组成的复合场中做匀速直线运动时，符合二力平衡，qE＝qvB. (2)若撤去磁场，带电粒子在电场中做类平抛运动，应用运动的合成与分解的方法分析． (3)若撤去电场，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，符合洛伦兹力提供向心力：qvB＝m. 【即学即用】 2．(2013届榆林一中检测)如图8－3－13所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法中正确的是(　　)
图8－3－13 A．组成A、B两束的离子都带正电 B．组成A、B两束的离子质量一定不同 C．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外 D．A束离子的比荷小于B束离子的比荷 【解析】　A与B两束离子由速度选择器进入磁场后，由左手定则可判断出A、B两束离子均带正电；离子在速度选择器中做匀速直线运动，两离子带正电，所受电场力与场强方向一致，水平向右，洛伦兹力必水平向左，且与电场力等大： Bqv＝qE?v＝，由左手定则可得速度选择器中的磁场方向应垂直于纸面向里；两离子进入磁场后做匀速圆周运动，观察可得圆周运动半径不同，依据r＝可得两离子的比荷不等，A束离子的圆周运动的半径较小，则比荷大于B束离子． 【答案】　A
(对应学生用书第149页)
带电粒子在有界组合场中的运动  
　
图8－3－14 (2012·新课标全国高考)如图8－3－14，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)．在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心O到直线的距离为R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域．若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小． 【潜点探究】　(1)粒子在磁场中的运动，应建立圆周运动模型．画出粒子运动轨迹．根据磁场边界条件利用几何关系求出粒子运动的半径． (2)粒子在电场中运动，应建立类平抛运动模型，应用运动的合成和分解的方法解答． 【规范解答】　
粒子在磁场中做圆周运动．设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 qvB＝m① 式中v为粒子在a点的速度． 过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点．由几何关系知，线段、和过a、b两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)围成一正方形．因此 ＝＝r② 设＝x，由几何关系得 ＝R＋x③ ＝R＋④ 联立②③④式得r＝R⑤ 再考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动．设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得 qE＝ma⑥ 粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，由运动学公式得 r＝at2⑦ r＝vt⑧ 式中t是粒子在电场中运动的时间．联立①⑤⑥⑦⑧式得 E＝.⑨ 【答案】　 【即学即用】 3．(2012·房山区模拟)如图8－3－15所示的区域中，左边为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OC且垂直于磁场方向．一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子从P孔以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ＝60°，粒子恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场，最后打在Q点，已知OQ＝2OC，不计粒子的重力，求：
图8－3－15 (1)粒子从P运动到Q所用的时间t； (2)电场强度E的大小； (3)粒子到达Q点时的动能EkQ. 【解析】　(1)画出粒子运动的轨迹如图示的三分之一圆弧(O1为粒子在磁场中圆周运动的圆心)：∠PO1C＝120° 设粒子在磁场中圆周运动的半径为r，
qv0B＝m，r＝ r＋rcos 60°＝OC＝x，OC＝x＝3r/2 粒子在磁场中圆周运动的时间t1＝T＝. 粒子在电场中类平抛运动OQ＝2x＝3r t2＝＝＝ 粒子从P运动到Q所用的时间t＝t1＋t2＝(3＋π). (2)粒子在电场中做类平抛运动，有x＝at＝t，2x＝v0t2 解得E＝Bv0. (3)由动能定理得EkQ－mv＝qEx 解得粒子到达Q点时的动能为EkQ＝mv. 【答案】　 (1)(3＋)　(2)Bv0　(3)mv
(对应学生用书第150页) ●速度选择器 1.
图8－3－16 如图8－3－16为一“滤速器”装置的示意图．a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能沿水平直线OO′运动，由O′射出．不计重力作用．可能达到上述目的的办法是(　　) A．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里 B．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里 C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外 D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外 【解析】　电子能沿水平方向做直线运动，则电子所受的电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，当a板电势高于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向里，所以A正确，C错误；当a板电势低于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向外，所以D正确，B错误． 【答案】　AD ●电磁流量计 2．如图8－3－17所示是电磁流量计的示意图．圆管由非磁性材料制成，空间有匀强磁场．当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上MN两点的电势差E，就可以知道管中液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体的体积．已知管的直径为d，磁感应强度为B，则关于Q的表达式正确的是(　　)
图8－3－17 A．Q＝　　　　　B．Q＝ C．Q＝ D．Q＝ 【解析】　设液体流速为v，则有：q＝Bvq，v＝，液体的流量Q＝v·πd2＝，故B正确． 【答案】　B ●磁流体发电机原理的应用 3．(2012·铜川模拟)北半球某处，地磁场水平分量B1＝0.8×10－4 T，竖直分量B2＝0.5×10－4 T，海水向北流动，海洋工作者测量海水的流速时，将两极板插入此海水中，保持两极板正对且垂线沿东西方向，两极板相距d＝20 m，如图8－3－18所示，与两极板相连的电压表(可看做是理想电压表)示数为U＝0.2 mV，则(　　)
图8－3－18 A．西侧极板电势高，东侧极板电势低 B．西侧极板电势低，东侧极板电势高 C．海水的流速大小为0.125 m/s D．海水的流速大小为0.2 m/s 【解析】　由于海水向北流动，地磁场有竖直向下的分量，由左手定则可知，正电荷偏向西极板，负电荷偏向东极板，即西侧极板电势高，东侧极板电势低，故选项A正确；对于流过两极板间的带电粒子有：qvB2＝q，即v＝＝ m/s＝0.2 m/s，故选项D正确． 【答案】　AD ●带电粒子在复合场中运动的讨论 4．(2012·西安铁路一中模拟)如图8－3－19所示，空间的某个复合场区域内存在着方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场．质子由静止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的界面进入并沿直线穿过场区，质子从复合场区穿出时的动能为Ek.那么氘核同样由静止开始经同一加速电场加速后穿过同一复合场后的动能Ek′的大小是(　　)
图8－3－19 A．Ek′＝Ek B．Ek′＞Ek C．Ek′＜Ek D．条件不足，难以确定 【解析】　设质子的质量为m，则氘核的质量为2m.在加速电场里，由动能定理可得：eU＝mv2，在复合场里有：Bqv＝qE?v＝，同理对于氘核由动能定理可得离开加速电场的速度比质子的速度小，所以当它进入复合场时所受的洛伦兹力小于电场力，将往电场力方向偏转，电场力做正功，故动能增大，B选项正确． 【答案】　B ●质谱仪问题 5.
图8－3－20 (2013届辽宁鞍山一中模拟)对铀235的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义．如图8－3－20所示，质量为m、电荷量为q的铀235离子，从容器A下方的小孔S1不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S2垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动．离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I.不考虑离子重力及离子间的相互作用． (1)求加速电场的电压U； (2)求出在离子被收集的过程中任意时间t内收集到离子的质量M； (3)实际上加速电压的大小会在U±ΔU范围内微小变化．若容器A中有电荷量相同的铀235和铀238两种离子，如前述情况它们经电场加速后进入磁场中会发生分离，为使这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，则应小于多少？(结果用百分数表示，保留两位有效数字) 【解析】　(1)设离子经电场加速后进入磁场时的速度为v，由动能定理得qU＝mv2① 离子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m② 由①②式解得U＝.③ (2)设在t时间内收集到的离子个数为N，总电荷量为Q，则 Q＝It④ N＝⑤ M＝Nm⑥ 由④⑤⑥式解得M＝⑦ (3)由①②式有R＝ ⑧ 设m′为铀238离子的质量，由于加速电压的大小会在U±ΔU范围内有微小变化，铀235离子在磁场中的最大半径为 Rmax＝ ⑨ 铀238离子在磁场中的最小半径为 R′min＝ ⑩ 这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为 Rmax＜R′min? 即 ＜  则有m(U＋ΔU)＜m′(U－ΔU)? 即＜? 其中铀235离子的质量m＝235 u(u为原子质量单位)，铀238离子的质量m′＝238 u，故＜? 解得＜0.63%. 【答案】　(1)　(2)　(3)0.63% 　　　　　　　

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