力 的 合 成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则：
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。
1．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共面共点力的合力范围：
①三个力共线且方向相同时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。
②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的和。
2．几种特殊情况的共点力合成
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，夹角θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大且夹角120°
合力与分力等大
1．两个共点力F1与F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝1 N
解析：选B 由于合力大小为：|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|可通过以下表格对选项进行分析。
选项
诊断
结论
A
7 N≤F≤11 N
×
B
4 N≤F≤12 N
√
C
7 N≤F≤9 N
×
D
1 N≤F≤3 N
×
力 的 分 解
1．力的分解
(1)定义：求一个力的分力的过程，是力的合成的逆运算。
(2)遵循法则：平行四边形定则、三角形定则。
(3)分解的方法：
①按力的实际作用效果进行分解。
②力的正交分解。
2．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。
(2)标量：只有大小没有方向的量，运算时按算术法则进行。
1．效果分解法的解题步骤
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)根据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)由平行四边形和数学知识求出两分力的大小。
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
图2－2－1
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
2.如图2－2－2所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上。已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
图2－2－2
A.mg和mg
B.mg和mg
C.mg和μmg
D.mg和μmg
解析：选A 三棱柱受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用而平衡，故FN＝mgcos 30°＝mg，Ff＝mgsin 30°＝mg，A正确。
共点力的合成问题
[命题分析] 共点力的合成是高考常考的知识点，单独考查的机会不多，常与其他的知识综合起来考查。考查的方式有选择题、计算题等。
[例1] (2011·广东高考)如图2－2－3所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止，下列判断正确的是( )
图2－2－3
A．F1>F2>F3
B．F3>F1>F2
C．F2>F3>F1
D．F3>F2>F1
[解析] P点受力如图所示：由几何知识得F3>F1>F2，故B正确，A、C、D错误。
[答案] B
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[互动探究]
若F1、F2的大小保持不变，使F1、F2的夹角减小，再次平衡时，橡皮绳的拉力F3( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法确定
解析：选A F1、F2的合力与F3等大、反向，F1、F2的大小保持不变，其合力随夹角的减小而增大，故F3变大，A正确。
力的分解问题
[命题分析] 力的分解是高考中的重要考点，常以选择题的形式考查，或在大题中与其他知识综合考查。
[例2] (2012·全国新课标)拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图2－2－4)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ
图2－2－4
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0。若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan θ0。
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)该拖把在水平地板上拖地
竖直方向上拖把所受合力为零
(2)沿拖杆方向推拖把
拖杆对拖把头的作用力沿拖杆的方向
(3)拖把头在地板上匀速移动
拖把头处于平衡状态
(4)已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动
拖把头必须克服它与地板间的最大静摩擦力才能使拖把运动
第二步：找解题突破口
(1)要求拖把头匀速运动时推拖把的力，应先对拖把受力分析，利用正交分解的方法列方程求解。
(2)拖把头与地板间存在最大静摩擦力，它的大小与正压力成正比，故若θ角太小时，增大推力，最大静摩擦力随之增大，拖把头不会运动。
第三步：条理作答
[解析] (1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有：
Fcos θ＋mg＝FN ①
Fsin θ＝Ff ②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。二者的关系为：
Ff＝μFN ③
联立①②③得F＝ mg ④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsin θ≤λFN⑤
这时①式仍满足，联立①⑤得
sin θ－λcos θ≤λ ⑥
现考查使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有
sin θ－λcos θ≤0 ⑦
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为
tan θ0＝λ。
[答案] (1) (2)λ
[变式训练]
(2013·宝鸡模拟)如图2－2－5所示，α＝30°，装置的重力和摩擦力均不计，若用F＝100 N的水平推力使滑块B保持静止，则工件上受到的向上的弹力多大？
图2－2－5
解析：将推力F分解如图甲所示。
将杆上的推力F1分解如图乙所示。
则FN＝F1cos α＝cos α＝100 N。
答案：100 N
纠错蓝本——有关摩擦力问题的几个典型错误
[示例] 如图2－2－6所示，在粗糙水平面上放一斜面体a，有一物体b在斜面上刚好匀速下滑，现在b上施加沿斜面向下的力F，使b沿斜面加速下滑，则( )
图2－2－6
A．a保持静止，且没有相对水平面运动的趋势
B．a保持静止，但有相对水平面向右运动的趋势
C．a保持静止，但有相对水平面向左运动的趋势
D．因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断
[尝试解答] 选A 若以b为对象，由平衡条件知b受支持力和摩擦力的合力方向竖直向上，大小等于b的重力，因此b对a的压力和摩擦力的合力方向竖直向下，a没有相对地面运动的趋势。当施加沿斜面向下的力F后，斜面体所受各力均未发生变化，故a仍保持静止状态，即选A。
[失误探因]
1．审题方面
(1)由于没有正确判断出加上力F后b的运动状态而错选C。
(2)加上力F后，错误地认为b对a的作用力指向右下方，从而错选B。
2．知识应用方面
在对a进行受力分析时，b对a的摩擦力在加上力F前后没有变化，如果认识不到这一点，会造成错解。
[名师点评] 滑动摩擦力的大小由公式Ff＝μFN计算，当物体受到的其他力发生变化时，关键要判断出压力FN是否变化，如果不变，则滑动摩擦力的大小不会变。
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