第2讲 法拉第电磁感应定律、自感现象
(对应学生用书第156页)
法拉第电磁感应定律
1.感应电动势
(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势．
(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关．
(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断．
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数．
【针对训练】
1．(2011·广东高考)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
【解析】 由法拉第电磁感应定律E＝n可知感应电动势的大小E与n有关，与即磁通量变化的快慢成正比，所以A、B错误，C正确．由楞次定律可知，感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，即原磁通量增加，感应电流的磁场与原磁场方向相反．原磁通量减小，感应电流的磁场与原磁场同向，故D错误．
【答案】 C
导体切割磁感线时的感应电动势
导体棒切割磁感线时，可有以下三种情况：
切割方式
电动势表达式
说明
垂直切割
E＝BLv
倾斜切割
E＝BLvsin_θ
其中θ为v与
B的夹角
旋转切割
(以一端为轴)
E＝BL2ω
①导体棒与磁场方向垂直
②磁场为匀强磁场
【针对训练】
2．如图9－2－1所示，均匀导线制成的半径为R的圆环以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为( )
图9－2－1
A.BRv B.BRv
C.BRv D.BRv
【解析】 圆环运动到图示位置时，切割磁感线的有效长度为2Rsin 45°＝R，圆环中感应电动势E＝BLv＝BRv.Uab＝E＝BRv.故D正确．
【答案】 D
自感和涡流
1.自感现象：由于通过导体自身的电流发生变化而产生的电磁感应现象．
2．自感电动势
(1)定义：在自感现象中产生的感应电动势．
(2)表达式：E＝L.
(3)自感系数L.
①相关因素：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关．
②单位：亨利(H)，1 mH＝10－3 H,1 μH＝10－6 H.
3．涡流：当线圈中的电流发生变化时，在它附近的导体中产生的像水的旋涡一样的感应电流．
【针对训练】
3．(2012·苏州模拟)如图9－2－2(a)、(b)所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯A的电阻，接通S，使电路达到稳定，灯泡A发光，则( )
图9－2－2
A．在电路(a)中，断开S后，A将逐渐变暗
B．在电路(a)中，断开S后，A将先变得更亮，然后逐渐变暗
C．在电路(b)中，断开S后，A将逐渐变暗
D．在电路(b)中，断开S后，A将先变得更亮，然后逐渐变暗
【解析】 (a)电路中，灯A和线圈L串联，电流相同，断开S时，线圈上产生自感电动势，阻碍原电流的减小，通过R、A形成回路，A将逐渐变暗．(b)电路中电阻R和灯A串联，灯A的电阻大于线圈L的电阻，电流则小于线圈L中的电流，断开S时，电源不给灯A供电，而线圈产生自感电动势阻碍电流的减小，通过A、R形成回路，灯A中电流比原来大，变得更亮，然后逐渐变暗．所以选项A、D正确．
【答案】 AD
(对应学生用书第157页)
法拉第电磁感应定律的理解和应用
1.决定感应电动势大小的因素
感应电动势E的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率和线圈的匝数n.而与磁通量的大小、磁通量变化量ΔΦ的大小无必然联系．
2．磁通量变化通常有两种方式
(1)磁感应强度B不变，垂直于磁场的回路面积发生变化，此时E＝nB；
(2)垂直于磁场的回路面积不变，磁感应强度发生变化，此时E＝nS，其中是B－t图象的斜率．
(1)用公式E＝nS求感应电动势时，S为线圈在磁场范围内的有效面积，在B－t图象中为图线的斜率．
(2)E＝n一般用来求平均感应电动势．例如计算通过回路的电荷量，q＝Δt＝Δt＝.
有一面积为S＝100 cm2的金属环如图9－2－3甲所示，电阻为R＝0.1 Ω，环中磁场变化规律如图9－2－3乙所示，且磁场方向垂直环面向里，在t1到t2时间内，环中感应电流的方向如何？通过金属环的电荷量为多少？
甲 乙
图9－2－3
【审题视点】 (1)由B→t图象，磁感应强度变大．磁通量增加，根据楞次定律可确定感应电流方向．
(2)通过金属环的电荷量由磁通量的变化量决定．
【解析】 由楞次定律，可以判断出金属环中感应电流的方向为逆时针方向．
由图乙可知：磁感应强度的变化率＝①
金属环中的磁通量的变化率
＝·S＝·S②
环中形成的感应电流I＝＝＝③
通过金属环的电荷量Q＝IΔt④
由①②③④式解得
Q＝＝ C＝0.01 C.
【答案】 见解析
【即学即用】
1．(2012·沈阳二中模拟)如图9－2－4(a)所示，一个电阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路．线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图9－2－4(b)所示．图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计．求0至t1时间内
图9－2－4
(1)通过电阻R1的电流大小和方向；
(2)通过电阻R1的电荷量q及电阻R1上产生的热量．
【解析】 (1)穿过闭合线圈的磁场的面积为S＝πr
由题图(b)可知，磁感应强度B的变化率的大小为
＝
根据法拉第电磁感应定律得：E＝n＝nS＝
由闭合电路欧姆定律可知流过电阻R1的电流为：
I＝＝
再根据楞次定律可以判断，流过电阻R1的电流方向应由b到a.
(2)0至t1时间内通过电阻R1的电荷量为
q＝It1＝
电阻R1上产生的热量为Q＝I2R1t1＝.
【答案】 (1) 方向从b到a (2)
导体切割磁感线产生感应电动势
的计算
1．公式E＝BLv中的B、L、v要求两两互相垂直．当L⊥B，L⊥v，而v与B成θ夹角时，导线切割磁感线的感应电动势大小为E＝BLvsin θ.
2．若导线不是直的，则E＝BLvsin θ中的L为切割磁感线的导线的有效长度．如图9－2－5，导线的有效长度为ab间的距离．
图9－2－5
图9－2－6
(2012·四川高考)半径为a右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0.圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图9－2－6所示．则( )
A．θ＝0时，杆产生的电动势为2Bav
B．θ＝时，杆产生的电动势为Bav
C．θ＝0时，杆受的安培力大小为
D．θ＝时，杆受的安培力大小为
【审题视点】 (1)右端开有小口，使得闭合回路大大简化．
(2)θ角的大小决定了导体切割磁感线的有效长度．
【解析】 当θ＝0时，杆切割磁感线的有效长度l1＝2a，所以杆产生的电动势E1＝Bl1v＝2Bav，选项A正确；此时杆上的电流I1＝＝，杆受的安培力大小F1＝BI1l1＝，选项C错误；
当θ＝时，杆切割磁感线的有效长度l2＝2acos ＝a，杆产生的电动势E2＝Bl2v＝Bav，选项B错误；此时杆上的电流I2＝＝，杆受的安培力大小F2＝BI2l2＝，选项D正确．
【答案】 AD
【即学即用】
2.
图9－2－7
(2013届榆林学情调研)如图9－2－7所示，匀强磁场的方向垂直于电路所在平面，导体棒ab与电路接触良好．当导体棒ab在外力F作用下从左向右做匀加速直线运动时，若不计摩擦和导线的电阻，整个过程中，灯泡L未被烧毁，电容器C未被击穿，则该过程中( )
A．感应电动势将变大
B．灯泡L的亮度变大
C．电容器C的上极板带负电
D．电容器两极板间的电场强度将减小
【解析】 当导体棒ab在外力F作用下从左向右做匀加速直线运动时，由右手定则知，导体棒a端的电势高，电容器C的上极板带正电；由公式E＝BLv知，感应电动势将变大，导体棒两端的电压变大，灯泡L的亮度变大，由于场强E＝，电容器两极板间的电场强度将变大．故A、B正确，C、D错．
【答案】 AB
(对应学生用书第159页)
电磁感应电路的计算
1.计算电荷量只能根据法拉第电磁感应定律E＝n，确定磁通量的变化量，推导出q＝n.
2．计算焦耳热，如果是恒定的感应电流，可以用焦耳定律Q＝I2Rt，如果电流是变化的，则只能用功能关系求解．
(2012·天津高考)如图9－2－8所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的电阻．一质量m＝0.1 kg，电阻r＝0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4 T．棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动，当棒的位移x＝9 m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1.导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
图9－2－8
(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；
(3)外力做的功WF.
【潜点探究】 (1)撤去外力前，导体棒做匀加速运动，求出导体棒的位移，就能计算出磁通量的变化量和通过R的电荷量．
(2)回路中产生的焦耳热可以应用功能关系进行计算．
【规范解答】 (1)设棒匀加速运动的时间为Δt，回路的磁通量变化量为ΔΦ，回路中的平均感应电动势为，由法拉第电磁感应定律得
＝①
其中ΔΦ＝Blx②
设回路中的平均电流为，由闭合电路欧姆定律得
＝③
则通过电阻R的电荷量为q＝Δt④
联立①②③④式，代入数据得q＝4.5 C．⑤
(2)设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v2＝2ax⑥
设棒在撤去外力后的运动过程中安培力所做的功为W，由动能定理得
W＝0－mv2⑦
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得Q2＝1.8 J．⑨
(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，可得Q1＝3.6 J⑩
在棒运动的整个过程中，由功能关系可知WF＝Q1＋Q2?
由⑨⑩?式得WF＝5.4 J.
【答案】 (1)4.5 C (2)1.8 J (3)5.4 J
【即学即用】
3．如图9－2－9甲所示，垂直于水平桌面向上的有界匀强磁场，磁感应强度B＝0.8 T，宽度L＝2.5 m．光滑金属导轨OM、ON固定在桌面上，O点位于磁场的左边界，且OM、ON与磁场左边界均成45°角．金属棒ab放在导轨上，且与磁场的右边界重合．t＝0时，ab在水平向左的外力F作用下匀速通过磁场．测得回路中的感应电流随时间变化的图象如图乙所示．已知OM、ON接触点的电阻为R，其余电阻不计．
甲 乙
图9－2－9
(1)利用图象求出这个过程中通过ab棒截面的电荷量及电阻R；
(2)写出水平力F随时间变化的表达式．
【解析】 (1)根据q＝·t，由i－t图象得：
q＝×2.0×5 C＝5 C
又＝＝＝
其中＝1.0 A，Δt＝5 s，得R＝1 Ω
(2)由图象知，感应电流i＝(2－0.4t) A
棒的速度v＝＝ m/s＝0.5 m/s
有效长度l＝2(L－vt)tan 45°＝(5－t) m
棒在力F和安培力FA作用下匀速运动，有
F＝Bil＝0.8×(2－0.4t)×(5－t)N＝2×(2－0.4t)2 N.
【答案】 (1)5 C 1 Ω (2)F＝2×(2－0.4t)2 N
(对应学生用书第160页)
●用电磁感应定律计算感应电动势
1.
图9－2－10
(2012·汉中模拟)如图9－2－10所示，铁芯右边绕有一个线圈，线圈两端与滑动变阻器、电池组连成回路．左边的铁芯上套有一个环面积为0.02 m2、电阻为0.1 Ω的金属环．铁芯的横截面积为0.01 m2，且假设磁场全部集中在铁芯中，金属环与铁芯截面垂直．调节滑动变阻器的滑动头，使铁芯中的磁感应强度每秒均匀增加0.2 T，则从上向下看( )
A．金属环中感应电流方向是逆时针方向，感应电动势大小为4.0×10－3 V
B．金属环中感应电流方向是顺时针方向，感应电动势大小为4.0×10－3 V
C．金属环中感应电流方向是逆时针方向，感应电动势大小为2.0×10－3 V
D．金属环中感应电流方向是顺时针方向，感应电动势大小为2.0×10－3 V
【解析】 铁芯内的磁通量情况是相同的，金属环的有效面积即铁芯的横截面积．根据电磁感应定律E＝n＝1×0.2×0.01 V＝2×10－3 V．又根据楞次定律，金属环中电流方向为逆时针方向，即C正确．
【答案】 C
●导体切割磁感线时感应电动势的计算
2．(2010·大纲全国高考)某地的地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下，大小为4.5×10－5 T．一灵敏电压表连接在当地入海河段的两岸，河宽100 m，该河段涨潮和落潮时有海水(视为导体)流过．设落潮时，海水自西向东流，流速为2 m/s.下列说法正确的是( )
A．河北岸的电势较高
B．河南岸的电势较高
C．电压表记录的电压为9 mV
D．电压表记录的电压为5 mV
【解析】 海水在落潮时自西向东流，该过程可以理解为：自西向东运动的导体棒在切割竖直向下的磁场．根据右手定则，北岸是正极，北岸电势高，南岸电势低，故A对，B错．根据法拉第电磁感应定律E＝BLv＝4.5×10－5×100×2 V＝9×10－3 V，故C对，D错．
【答案】 AC
●自感现象的分析和应用
3．如图9－2－11所示，A、B是完全相同的两个小灯泡，L为自感系数很大、电阻可以忽略的带铁芯的线圈( )
图9－2－11
A．电键S闭合瞬间，A、B同时发光，随后A灯变暗直至熄灭，B灯变亮
B．电键S闭合瞬间，B灯亮，A灯不亮
C．断开电键S的瞬间，A、B灯同时熄灭
D．断开电键S的瞬间，B灯立即熄灭，A灯突然闪亮一下再熄灭
【解析】 因线圈的自感系数很大，电阻可忽略，故闭合电键瞬间，线圈对电流的阻碍作用极大，相当于断路，故A、B同时发光，且亮度相同，当稳定后，线圈相当于导线，A灯短路，B灯电压为电源电压，亮度比闭合瞬间更亮．断开电键瞬间，B灯立即熄灭，而线圈中的电流不会立即消失，线圈相当于一个电源使A灯中会有一短暂电流，从而使A灯会亮一下再熄灭．
【答案】 AD
●法拉第电磁感应定律的综合应用
4．如图9－2－12所示，固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距为L1＝0.5 m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2＝0.8 m，整个闭合回路的电阻为R＝0.2 Ω，磁感应强度为B0＝1 T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路．ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m＝0.04 kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场以＝0.2 T/s的变化率均匀地增大．求：
图9－2－12
(1)金属棒上电流的方向；
(2)感应电动势的大小；
(3)物体刚好离开地面的时间(g＝10 m/s2)．
【解析】 (1)由楞次定律可以判断，金属棒上的电流方向是由a到d.
(2)由法拉第电磁感应定律得：
E＝＝S＝0.08 V.
(3)物体刚要离开地面时，其受到的拉力F＝mg，而拉力F又等于棒所受的安培力．
即mg＝F安＝BIL1
其中B＝B0＋t
I＝
解得t＝5 s.
【答案】 (1)由a到d (2)0.08 V (3)5 s
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