第2讲 研究电场能的性质
(对应学生用书第98页)
电场力做功与电势能
1.电场力做功
(1)特点：电场力做功和路径无关，只与初、末位置有关．
(2)计算方法
①WAB＝qEL，只适用于匀强电场，其中L为沿电场线方向的位移．
②WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WE＝EpA－EpB.
(3)电势能的相对性，电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面的电势能规定为零．
【针对训练】
1.
图6－2－1
(2013届青岛二中检测)如图6－2－1所示，已知菱形ABCD处于一静电场中，AC与BD相交于O，若一个电子从A点运动到B点动能减小10 eV，将电子从B点移动到C点，电场力做功也是10 eV，则由此可推断此空间存在的静电场可能是( )
A．匀强电场，方向垂直于AC由O指向B
B．匀强电场，方向垂直于AC由B指向O
C．位于O点的负点电荷形成的电场
D．位于D点的负点电荷形成的电场
【解析】 电子从A点运动到B点动能减小10 eV，则电势能增大10 eV，由于电子带负电，故电势降低10 V，将电子从B点移动到C点，电场力做正功则电势能减小10 eV，故电势升高10 V，由此推得A、C两点电势相等且比B点电势高10 V，如果是匀强电场，则电场方向一定垂直AC，由电势高的O点指向电势低的B点，故选项A正确、B错误；如果是负点电荷产生的电场，则电势外高内低，由图可知负点电荷位于O点和D点都是B点电势高于A、C点的电势，故选项C、D错误．
【答案】 A
电势与等势面
1.电势
(1)定义式：φM＝.
(2)矢标性：电势是标量，其大小有正负之分，其正(负)表示该点电势比电势零点高(或低)．
(3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因电势零点选取的不同而不同．
2．等势面的特点
(1)等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(2)在等势面上移动电荷时电场力不做功．
(3)电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(4)等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
【针对训练】
2．(2013届安庆一中检测)一个匀强电场的电场线分布如图6－2－2甲所示．把一个空心导体引入到该匀强电场后的电场线分布如图6－2－2乙所示．在电场中有A、B、C、D四个点(B、C两点在空心导体的表面上)，下面说法正确的是( )
甲 乙
图6－2－2
A．φA＝φB B．φB＝φC
C．EA＝ED D．EA＜ED
【解析】 沿电场线方向电势逐渐降低，φA＞φB，选项A错误；空心导体是等势体，表面是等势面，φB＝φC，选项B正确；电场线疏密表示电场强度大小，EA＜ED，选项C错误，D正确．
【答案】 BD
电 势 差
1.定义式：UAB＝.
2．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零势点的选取无关．
4．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小：电场中，场强方向是指电势降低最快的方向．在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
【针对训练】
3.
图6－2－3
如图6－2－3所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有( )
A．φA>φB>φC
B．EC>EB>EA
C．UABφB>φC，A正确；由电场线的疏密程度可以看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，B对；电场线密集的地方电势降落较快，故UBC>UAB，C对，D错．
【答案】 ABC
(对应学生用书第99页)
电势高低与电势能大小的判断方法
1.电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据场源
电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
2.电势能大小的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
续表
判断角度
判断方法
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由EpM＝qφM，将q、φM的大小、正负号一起代入公式，EpM的正值越大，电势能越大；EpM的负值越小，电势能越大
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加
(1)电势、电势能的正负表示大小，正的电势比负的电势高、正的电势能比负的电势能大，而电势差的正负表示两点电势的相对高低．
(2)电场线或等差等势面越密的地方电场强度越大，但电势不一定越高．
(2012·重庆高考)空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图6－2－4所示，a、b、c、d为电场中的4个点．则( )
图6－2－4
A．P、Q两点处的电荷等量同种
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
【审题视点】 (1)注意题中所给图是等势面分布图，非电场线分布图．
(2)a、b同一等势面，c、d不在同一等势面上，应找出电场线方向再判断c、d电势高低．
(3)确定电场线方向，就可比较电荷移动时电势能变化．
【解析】 由题中所给的等势面分布图是对称的及电场线与等势面垂直可得，P、Q两点应为等量的异种电荷，A错；a、b两点的电场强度大小相等，但方向不同，故B错；因P处为正电荷，因此c点的电势高于d点的电势，C错；因P处为正电荷，故Q处为负电荷，负电荷从靠负电荷Q较近的a点移到靠正电荷P较近的c点时，电场力做正功，电势能减小，D对．
【答案】 D
【即学即用】
1.
图6－2－5
(2012·山东高考)图6－2－5中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子( )
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
【解析】 由带电粒子进入正点电荷形成的电场中的运动轨迹可以看出两者相互排斥，故带电粒子带正电，选项A错误；根据库仑定律F＝k可知，a、b、c三点中，在a点时受力最大，选项B错误；带电粒子从b点到c点的过程中，电场力做正功，电势能减小，故在b点的电势能大于在c点的电势能，选项C正确；由于虚线为等间距的同心圆，故Uab＞Ubc，所以Wab＞Wbc，根据动能定理，带电粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，选项D正确．
【答案】 CD
匀强电场中场强与电势差的关系应用
1.公式E＝反映了电场强度与电势差之间的关系，由公式可知：电场强度的方向就是电势降低最快的方向．公式E＝的应用只适用于匀强电场，且应用时注意d的含义是表示某两点沿电场线方向的距离，或两点所在等势面之间的距离．
2．由匀强电场中场强与电势差的关系，可推出两个重要推论：
图6－2－6
推论1：如图6－2－6所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，等于两端点电势的等差中项，即φC＝
证明：设AC＝CB＝d，则φA－φC＝Edcos θ，φC－φB＝Edcos θ
所以有：φC＝.
图6－2－7
推论2：如图6－2－7所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD.
证明：设AB＝CD＝d，则φA－φB＝Edcos θ，φC－φD＝Edcos θ
所以有：φA－φB＝φC－φD.
(2012·安徽高考)如图6－2－8所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图6－2－8
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100V/m
【解析】 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C为等势面．O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m．根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】 A
如何确定匀强电场中的电场线
(1)先确定等势面：根据“两点确定一条直线”，找出电场中电势相等的两个点，然后连接成一条等势线；因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化，任一线段中点的电势为两端点电势的平均值，题中先找出OA中点C的电势为3 V，连BC得等势线．
(2)电场线跟等势面一定垂直，作出等势线的垂线即得电场线；题中过O点可作BC的垂线，即电场线．
(3)比较电势的高低，即沿着电场线的方向，电势逐渐降低；根据题中电势高低在电场线上标出箭头，表示电场的方向．
【即学即用】
2．(2013届陕西师大附中检测)如图6－2－9所示，平行直线AA′、BB′、CC′、DD′、EE′.分别表示电势为－4 V、－2 V、0、2 V、4 V的等势线．若AB＝BC＝CD＝DE＝2 cm，且与直线MN成30°角，则( )
图6－2－9
A．该电场是匀强电场，场强方向垂直于AA′，且左斜下
B．该电场是匀强电场，场强大小E＝2 V/m
C．该电场是匀强电场，与C点距离为2 cm的所有点中，最高电势为4 V，最低电势为－4 V
D．该电场可能不是匀强电场，E＝不适用
【解析】 因各等势面间距相等，电势差相等，所以该电场为匀强电场．场强大小E＝ V/m＝200 V/m，其方向与等势面垂直指向电势降低的方向即指向左上方．A、B、D选项错．因C点电势为零，与C点距离为2 cm的点的最高电势为φm＝Ed＝200×2×10－2 V＝4 V，最低电势为－4 V，C项正确．
【答案】 C
电场线、等势线、轨迹线的综合问题
此类问题的解题方法可归纳为以下几点
1．运动粒子的曲线轨迹必定向电场力方向弯曲，即电场力方向指向曲线的内侧，且运动轨迹必定在v和F之间．先画出入射点的轨迹切线，即画出初速度的方向；再根据轨迹的弯曲方向，确定电场力方向．
2．电场线和等势面垂直，电场线又从高电势指向低电势．
3．先根据电场线的方向以及疏密情况，确定场强及电性情况，定性判断电场力(或加速度)的大小和方向；再根据电场力方向与速度方向的关系来判断速度的变化情况以及运动性质．
4．根据电场力方向与速度方向的关系来判断电场力做功情况及判断电势能的变化情况，另外可以通过能量的转化和守恒确定电势能及动能的变化情况．
图6－2－10
(2013届辽宁省实验中学检测)如图6－2－10所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三点，且DE＝EF.K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面．一不计重力的带负电粒子，从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则( )
A．|Wab|＝|Wbc|
B．|Wab|＜|Wbc|
C．粒子由a点到b点，动能减少
D．a点的电势较b点的电势低
【解析】 由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处电场强度大，类比公式U＝Ed知|Uab|＞|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|＞|Wbc|，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知该粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则D错误；粒子由a点到b点，电场力做负功，电势能增加，动能减少，则C正确．
【答案】 C
【即学即用】
3．(2013届银川一中检测)如图6－2－11所示，实线为一匀强电场的电场线，两个带电粒子q1、q2分别从A、C两点以垂直于电场线的初速度射入电场，仅受电场力作用，运动轨迹分别如图中的ABC、CDA所示，已知q1是带正电的粒子．则下列说法中正确的是( )
图6－2－11
A．q2可能也带正电
B．A点的电势一定低于C点的电势
C．电场力对q1做正功，对q2做负功
D．q1、q2的电势能均减少
【解析】 由图中带电粒子q1的运动轨迹可知带电粒子q1受水平向右电场力，则电场方向水平向右，A点的电势一定高于C点的电势，q2受水平向左的电场力，为负电荷，则A、B错误；两粒子的电场力都做正功，电势能均减少，则C错误、D正确．
【答案】 D
(对应学生用书第101页)
电场力做功及功能关系
1.电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcos θ计算，此公式只适用于匀强电场．可变形为W＝qEd(d＝lcos θ)，式中d为电荷初、末位置在电场方向上的位移．
(2)由公式W＝qU计算时有两种方法：
①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷移动位移方向间的夹角确定是电场力做功，还是克服电场力做功．
②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝WAB/q，若UAB＞0，即φA－φB＞0，则φA＞φB；若UAB＜0，即φA－φB＜0，则φA＜φB.
(3)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由电势能变化计算：W＝－ΔEp.
2．带电粒子在电场中做曲线运动时正负功的判断
(1)粒子速度方向一定沿轨迹的切线方向，粒子合力方向一定沿电场线指向轨迹弯曲的凹侧．
(2)电场力与速度方向间夹角小于90°，电场力做正功；夹角大于90°，电场力做负功．
3．功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化；
(4)所有外力对物体所做的功，等于物体动能的变化．
6－2－12
(2013届宝鸡高三检测)如图6－2－12所示，有三根长度皆为l＝1.00 m的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别挂有质量皆为m＝1.00×10－2 kg的带电小球A和B，它们的电荷量分别为－q和＋q，q＝1.00×10－7 C．A、B之间用第三根线连接起来．空间中存在大小为E＝1.00×106 N/C的匀强电场，场强方向水平向右，平衡时A、B两球的位置如图甲所示．现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B两球最后会到达新的平衡位置．则最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少？(不计两带电小球间相互作用的静电力)
【潜点探究】 (1)OB线烧断前处于平衡状态，烧断后最终也处于平衡状态，要从受力分析角度判断最后平衡状态下，A、B球的位置．
(2)由A、B球的始末位置，可计算出机械能的变化．
(3)由A、B球在电场中的始末位置可计算出其电势能的变化．
(4)只要AB相对距离不变，二者之间的库仑力引起的相对势能不变．
【规范解答】
a
将O、B之间的线烧断后，由于有空气阻力，A、B两球最后会达到新的平衡位置(处于静止状态)．对于A、B整体，其受力情况如图a所示：重力2mg，竖直向下；两个电场力qE，一个水平向左，一个水平向右，相互平衡；所以线OA的拉力应竖直向上，即OA呈现竖直状态．
b
对于B球，其受力情况如图b所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向右，设线BA的拉力T2与竖直方向成β角，由平衡条件得：
T2sin β＝qE
T2cos β＝mg
解得：β＝45°
由此可知，A、B两球重新达到平衡的位置如图b所示．与原来位置相比，A球的重力势能减少了：
EpA＝mgL(1－sin 60°)
B球的重力势能减少了：
EpB＝mgL(1－sin 60°＋cos 45°)
A球的电势能增加了：
EA＝qELcos 60°
B球的电势能减少了：EB＝qEL(sin 45°－sin 30°)
两种势能的总和减少了E＝EB－EA＋EpA＋EpB＝6.8×10－2 J.
【答案】 减少了6.8×10－2 J
【即学即用】
4.
图6－2－13
(2013届山东省实验中学检测)如图6－2－13所示，A、B是位于竖直平面内、半径R＝0.5 m的圆弧形的光滑绝缘轨道，其下端点B与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度E＝5×103 N/C.今有一质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋8×10－5 C的小滑块(可视为质点)从A点由静止释放．若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.05，取g＝10 m/s2，求：
(1)小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点B时对B点的压力；
(2)小滑块在水平轨道上通过的总路程．
【解析】 (1)设滑块第一次达B点时速度大小为v，轨道对滑块的支持力为FN，根据牛顿第二定律：FN－mg＝m
根据动能定理：－qER＋mgR＝mv2
解得FN＝2.2 N，根据牛顿第三定律知
滑块对轨道的压力大小为F′N＝FN＝2.2 N.
(2)滑块在水平轨道上运动时受电场力F＝qE＝0.4 N，受滑动摩擦力
F′＝μmg＝0.05 N
F＞F′，所以滑块最终将在圆弧轨道上往复运动，且恰能达B点，设滑块在水平轨道上运动的总路程为x，
根据动能定理有
－μmgx＝0－mv2
解得x＝6 m
【答案】 (1)2.2 N (2)6 m
(对应学生用书第102页)
●场强、电势、电势能的大小比较
1.
图6－2－14
(2012·福建高考)如图6－2－14所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
A．A点电势大于B点电势
B．A、B两点的电场强度相等
C．q1的电荷量小于q2的电荷量
D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
【解析】 由于电场力做负功，所以Q应带负电荷，由负点电荷产生电场的电场线的分布规律可判断出φB＞φA，故A项错误；由E＝k，r不相等，所以EA≠EB，故B项错误；由φA＝、φB＝，因为WA→∞＝WB→∞，φA＜φB＜0，所以＞，即q1＜q2，故C项正确；由于克服电场力做功相等，且无穷远处电势能为零，所以q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，故D项错误．
【答案】 C
●匀强电场中电势差与场强的关系
2．(2010·安徽高考)如图6－2－15所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
图6－2－15
A．UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V)
C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V)
【解析】 根据“沿电场线方向，电势降低”可知，φO＜φP，UOP＜0；根据匀强电场中电势差和场强的关系U＝Ed可知，UOP＝－ERsin θ＝－10sin θ(V)，选项A正确．
【答案】 A
●等量异种点电荷电场、电势分布特点
3.
图6－2－16
(2011·山东高考)如图6－2－16所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a和c关于MN对称、b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是( )
A．b点场强大于d点场强
B．b点场强小于d点场强
C．a、b两点间的电势差等于b、c两点间的电势差
D．试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能
【解析】 如图所示，两电荷连线的中点位置用O表示，在中垂线MN上，O点场强最大，在两电荷之间连线上，O点场强最小，即Eb
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