第1讲 机械振动
(对应学生用书第198页)
简 谐 运 动
1.概念
质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦(或余弦)曲线．
2．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．
(2)(2)运动学表达式：x＝Asin ωt，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢．
3．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力．
(2)方向：时刻指向平衡位置．
(3)振动物体所受的沿振动方向的合力．
4．描述简谐运动的物理量
物理量
定义
意义
位移
由平衡位置指向质点所在位置的有向线段
描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移
振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时间
频率
振动物体单位时间内完成全振动的次数
描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝
5.描述简谐运动的图象
图象
横轴
表示振动时间
纵轴
表示某时刻质点的位移
物理意义
表示振动质点的位移随时间的变化规律
【针对训练】
1．如图12－1－1所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为( )
图12－1－1
A. B.
C. D.
【解析】 物体A振动的平衡位置弹簧弹力和A物体重力相等．物体B将A拉至平衡位置以下最大位移Δx＝处，故A振动的振幅为，A正确．
【答案】 A
受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动．
(2)特点：物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体自身的固有频率无关．
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
(2)条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图12－1－2所示．
图12－1－2
【针对训练】
2．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A.f固＝60 Hz B．60 Hz＜f固＜70 Hz
C．50 Hz＜f固＜60 Hz D．以上三项都不对
【解析】
从图所示的共振曲线，可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大．并从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢．比较各组数据知在f驱在50 Hz～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此，50 Hz＜f固＜60 Hz，即C选项正确．
【答案】 C
(对应学生用书第199页)
简谐运动模型及规律
1.简谐运动的两种模型
模型
比较项目
弹簧振子
单摆
模型示意图
特点
(1)忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力
(2)弹簧的质量可忽略
(1)细线的质量、球的直径均可忽略
(2)摆角θ很小
(3)重力的切向分力提供回复力
公式
回复力
F＝－kx
(1)回复力
F＝－x
(2)周期
T＝2π
2.简谐运动的运动规律：x＝Asin ωt
(1)变化规律
位移增大时
(2)对称规律
①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．
②振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBC＝tB′C′，如图12－1－3所示．
图12－1－3
(1)简谐运动具有往复性，位移相同时，回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向．
(2)简谐运动具有周期性和对称性特点，往往会出现多解问题．
图12－1－4
一个质点在平衡位置O点附近做机械振动．若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图12－1－4所示)；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是( )
A．8 s B．4 s C．14 s D. s
【解析】 设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＝4 s，T＝16 s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt3＝T－2 s＝(16－2) s＝14 s，故选项C正确．
若开始计时时刻，质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＋＝4 s，T＝ s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt′3＝T－2 s＝(－2) s＝ s，故选项D正确．
综上所述，该题的正确答案是C、D.
【答案】 CD
简谐运动的图象和应用
1.对简谐运动图象的认识
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图12－1－5所示．
图12－1－5
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹．
(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小．正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向．
2．图象信息
(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．
(2012·北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是( )
【解析】 根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】 A
受迫振动和共振
自由振动、受迫振动和共振的比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力作用
周期性驱动力作用
振动周期
或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周
期或频率决定，
即T＝T驱
或f＝f驱
T驱＝T固
或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力
的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ＜5°)
机械工作时底
座发生的振动
共振筛、转速计等
(2012·西安模拟)如图12－1－6所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是( )
图12－1－6
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
【解析】 据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，因为甲的固有频率接近驱动力的频率，做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率，所以B选项正确．
【答案】 B
实验：用单摆测定重力加速度
1.实验原理
单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π ，可得g＝，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度．
2．实验步骤
(1)组成单摆．实验器材有：带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1 m长的细线．在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂．
(2)测摆长．实验器材有：毫米刻度尺和游标卡尺．让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测出摆球的直径(2r)，则摆长为l＝l线＋r.
(3)测周期．实验仪器有：秒表．把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T.
(4)求重力加速度．将l和T代入g＝4π2l/T2，求g的值；变更摆长3次，重新测量每次的摆长和周期，再取重力加速度的平均值，即得本地的重力加速度．
3．数据处理
(1)平均值法：用g＝(g1＋g2＋g3＋g4＋g5＋g6)/6求出重力加速度．
(2)图象法
图12－1－7
由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图象是一条过原点的直线，如图12－1－7所示，求出斜率k，即可求出g值．g＝4π2k，k＝＝.
(2011·福建高考)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图12－1－8所示，则该摆球的直径为________cm.
图12－1－8
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是( )
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
【解析】 (1)游标卡尺读数为0.9 cm＋7×0.1 mm＝0.97 cm.
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误．
【答案】 (1)0.97(0.96、0.98均可) (2)C
(对应学生用书第200页)
1．一质点做简谐运动的图象如图12－1－9所示，下列说法正确的是( )
图12－1－9
A．质点振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度为零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【解析】 振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T＝4 s，其频率f＝＝0.25 Hz；10 s内质点运动了T，其运动路程为s＝×4A＝×4×2 cm＝20 cm；第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t＝1 s和t＝3 s两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反．由以上分析可知，B选项正确．
【答案】 B
2.
图12－1－10
(2012·重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图12－1－10所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是( )
【解析】 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.
【答案】 D
3．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过钢轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为20 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
【解析】 列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝＝＝40 m/s，故A错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B错，C错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D对．
【答案】 D
4．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是________(填入选项前的字母，有填错的不得分)
A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小
B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
【解析】 受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示，显然A错，B对．稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C错，D对．
【答案】 BD
5．如图12－1－11所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是( )
图12－1－11
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
【解析】 振幅可从题图上看出甲摆振幅大，故B对．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A、B、D.
【答案】 ABD
6．(2012·咸阳模拟)一质点做简谐运动的振动图象如图12－1－12所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是( )
图12－1－12
A．0～0.3 s B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
【解析】 质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，故位移减小时加速度与速度方向相同．故B、D正确．
【答案】 BD
7.
图12－1－13
一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图12－1－13所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0至8.5×10－2 s时间内，质点的路程多大？
【解析】 (1)由图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为
x＝Asin(ωt－)＝－Acos ωt＝－2cost cm＝－2cos(102πt) cm
当t＝0.25×10－2 s时x＝－2cos cm＝－ cm.(2)由图可知在1.5×10－2 s～2×10－2 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)从t＝0至8.5×10－2 s的时间内质点的路程为s＝17A＝34 cm.
【答案】 (1)－ cm
(2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大
(3)34 cm
8．简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图12－1－14甲所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图12－1－14乙所示．
甲 乙
图12－1－14
(1)为什么必须匀速拖动纸带？
(2)刚开始计时时，振子处在什么位置？t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？
(4)振子在__________s末负方向速度最大；在__________s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向__________方向运动．
(5)写出振子的振动方程．
【解析】 (1)纸带匀速运动时，由x＝vt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．
(2)由图乙可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，t＝17 s时位移为零．
(3)由x＝vt，所以1、3间距x＝2 cm/s×2 s＝4 cm.
(4)3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s时正方向加速度最大；t＝2.5 s时，向－x方向运动．
(5)x＝10sin(t－) cm.
【答案】 (1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间
(2)左侧最大位移 零
(3)4 cm (4)3 0或4 －x
(5)x＝10sin(t－) cm
9．(2011·江苏高考)将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物体．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.
【解析】 单摆周期公式T＝2π ，且kl＝mg
解得T＝2π .
【答案】 T＝2π
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