第1讲 动量守恒定律及其应用
(对应学生用书第219页)
动量和动量守恒定律
1.动量
(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p来表示．
(2)表达式：p＝mv.
(3)单位：kg·m/s.
(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同．
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力为0，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律．
(2)表达式
①p＝p′，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.
②m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．
③Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
④Δp＝0，系统总动量的增量为零．
3．动量守恒定律的适用条件
(1)不受外力或所受外力的合力为零，不是系统内每个物体所受的合外力都为零，更不能认为系统处于平衡状态．
(2)近似适用条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
(3)如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．
【针对训练】
1.
图13－1－1
(2012·宝鸡模拟)如图13－1－1所示，一辆小车静止在光滑水平面上，A、B两人分别站在车的两端．当两人同时相向运动时( )
A．若小车不动，两人速率一定相等
B．若小车向左运动，A的动量一定比B的小
C．若小车向左运动，A的动量一定比B的大
D．若小车向右运动，A的动量一定比B的大
【解析】 根据动量守恒可知，若小车不动，两人的动量大小一定相等，因不知两人的质量，故选项A是错误的．若小车向左运动，A的动量一定比B的大，故选项B是错误的、选项C是正确的．若小车向右运动，A的动量一定比B的小，故选项D是错误的．
【答案】 C
碰撞、反冲和爆炸问题
1.碰撞
(1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．
(2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
(3)分类
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
守恒
守恒
非完全弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失最大
2.反冲现象
在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开．这类问题相互作用的过程中系统的动能增大，且常伴有其他形式能向动能的转化．
3．爆炸问题
爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且远大于系统所受的外力，所以系统动量守恒，爆炸过程中位移很小，可忽略不计，作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动．
【针对训练】
2．(2011·福建高考)在光滑水平面上，一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m静止的B球碰撞后，A球的速度方向与碰撞前相反．则碰撞后B球的速度大小可能是( )
A．0.6v B．0.4v
C．0.3v D．0.2v
【解析】 根据动量守恒定律得：mv＝2mvB－mvA化简可得，vA＝2vB－v，因vA>0，所以vB>，故只有A项正确．
【答案】 A
(对应学生用书第220页)
动量守恒定律的理解和应用
1.动量守恒的适用对象和条件
(1)研究对象：相互作用的物体组成的系统．
(2)守恒条件
①理想守恒：系统不受外力或所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
②近似守恒：系统受到的外力矢量和不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒．
③分方向守恒：系统在某个方向上所受外力矢量和为零时，系统在该方向上动量守恒．
2．动量守恒定律的“五性”
(1)矢量性：速度、动量均是矢量，因此列式时，要规定正方向．
(2)相对性：动量守恒定律方程中的动量必须是相对于同一惯性参考系．
(3)系统性：动量守恒是针对满足守恒条件的系统而言的，系统改变，动量不一定满足守恒．
(4)同时性：动量守恒定律方程等号左侧表示的是作用前同一时刻的总动量，右侧则表示作用后同一时刻的总动量．
(5)普适性：动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，而且适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统．
应用动量守恒定律解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
(2012·山东高考)如图13－1－2光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA＝3m、mB＝mC＝m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变．求B与C碰撞前B的速度大小．
图13－1－2
【解析】 设A与B碰撞后，A的速度为vA，B与C碰撞前B的速度为vB，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得
对A、B木块：mAv0＝mAvA＋mBvB①
对B、C木块：mBvB＝(mB＋mC)v②
由A与B间的距离保持不变可知
vA＝v③
联立①②③式，代入数据得
vB＝v0.④
【答案】 v0
碰撞问题分析探究方法
1.求解：两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒．以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v′1＋m2v′2
m1v＝m1v′＋m2v′
解得：v′1＝，v′2＝
2．结论：①当两球质量相等时，v′1＝0，v′2＝v1，两球碰撞后交换了速度．
②当质量大的球碰质量小的球时，v′1＞0，v′2＞0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动．
③当质量小的球碰质量大的球时，v′1＜0，v′2＞0，碰撞后质量小的球被反弹回来．
图13－1－3
(2012·铜川一模)如图13－1－3所示，质量分别为1 kg、3 kg的滑块A、B位于光滑水平面上，现使滑块A以4 m/s的速度向右运动，与左侧连有轻弹簧的滑块B发生碰撞．求二者在发生碰撞的过程中．
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大速度．
【解析】 (1)当弹簧压缩最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A、B同速．
由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v
解得v＝＝ m/s＝1 m/s
弹簧的最大弹性势能即滑块A、B损失的动能
Epm＝mAv－(mA＋mB)v2＝6 J.
(2)当弹簧恢复原长时，滑块B获得最大速度，
由动量守恒和能量守恒得
mAv0＝mAvA＋mBvm
mAv＝mBv＋mAv
解得vm＝2 m/s.
【答案】 (1)6 J (2)2 m/s
实验：验证动量守恒定律
1.方案一：利用气垫导轨完成一维碰撞实验
(1)测质量：用天平测出滑块质量．
(2)安装：正确安装好气垫导轨．
(3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前后的速度(①改变滑块的质量．②改变滑块的初速度大小和方向)．
(4)验证：一维碰撞中的动量守恒．
2．方案二：利用等长悬线悬挂等大小球完成一维碰撞实验
(1)测质量：用天平测出两小球的质量m1、m2.
(2)安装：把两个等大小球用等长悬线悬挂起来．
(3)实验：一个小球静止，拉起另一个小球，放下时它们相碰．
(4)测速度：可以测量小球被拉起的角度，从而算出碰撞前对应小球的速度，测量碰撞后小球摆起的角度，算出碰撞后对应小球的速度．
(5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验．
(6)验证：一维碰撞中的动量守恒．
3．方案三：在光滑桌面上两车碰撞完成一维碰撞实验
(1)测质量：用天平测出两小车的质量．
(2)安装：将打点计时器固定在光滑长木板的一端，把纸带穿过打点计时器，连在小车的后面，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥．
(3)实验：接通电源，让小车A运动，小车B静止，两车碰撞时撞针插入橡皮泥中，把两小车连接成一体运动．
(4)测速度：通过纸带上两计数点间的距离及时间由v＝算出速度．
(5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验．
(6)验证：一维碰撞中的动量守恒．
4．方案四：利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律(1)用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球．
(2)按照如图13－1－4所示安装实验装置，调整固定斜槽使斜槽底端水平．
图13－1－4
(3)白纸在下，复写纸在上，在适当位置铺放好．记下重垂线所指的位置O.
(4)不放被撞小球，让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次．用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面，圆心P就是小球落点的平均位置．
(5)把被撞小球放在斜槽末端，让入射小球从斜槽同一高度自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次．用步骤(4)的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被碰小球落点的平均位置N.如图13－1－5所示．
图13－1－5
(6)连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度．将测量数据填入表中．最后代入m1＝m1＋m2，看在误差允许的范围内是否成立．
(1)若利用气垫导轨进行实验，调整气垫导轨时，注意利用水平仪确保导轨水平．
(2)若利用摆球进行实验，两小球静止悬挂时球心应在同一水平线上，且刚好接触，摆线竖直，将小球拉起后，两条摆线应在同一竖直面内．
(3)若利用长木板进行实验，可在长木板下垫一小木片用以平衡摩擦力．
(4)若利用斜槽进行实验，安装实验装置时，应注意调整斜槽使斜槽底端水平，且m入>m撞．
(2012·辽宁模拟)某同学利用打点计时器和气垫导轨做验证动量守恒定律的实验．气垫导轨装置如图13－1－6(a)所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架等组成．在空腔导轨的两个工作面上均匀分布着一定数量的小孔，向导轨空腔内不断通入压缩空气，空气会从小孔中喷出，使滑块稳定地漂浮在导轨上，这样就大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差．
图13－1－6
实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③把打点计时器固定在紧靠气垫导轨左端弹射架的外侧，将纸带穿过打点计时器与弹射架并固定在滑块1的左端，调节打点计时器的高度，直至滑块拖着纸带移动时，纸带始终在水平方向；
④使滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；
⑤把滑块2放在气垫导轨的中间；
⑥先________，然后________，让滑块带动纸带一起运动；
⑦取下纸带，重复步骤④⑤⑥，选出理想的纸带如图13－1－6(b)所示；
⑧测得滑块1的质量为310 g，滑块2(包括橡皮泥)的质量为205 g．完善实验步骤⑥的内容．
(2)已知打点计时器每隔0.02 s打一个点，计算可知两滑块相互作用以前系统的总动量为________kg·m/s；两滑块相互作用以后系统的总动量为________kg·m/s(保留三位有效数字)．
(3)试说明(2)中两结果不完全相等的主要原因是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
【解析】 (1)实验时应先接通打点计时器的电源，再放开滑块．
(2)作用前系统的总动量为滑块1的动量p0＝m1v0.
v0＝ m/s＝2 m/s，
p0＝0.31×2 kg·m/s＝0.620 kg·m/s
作用后系统的总动量为滑块1和滑块2的动量和，
且此时两滑块具有相同的速度v，
v＝ m/s＝1.2 m/s，
p＝(m1＋m2)v＝(0.310＋0.205)×1.2 kg·m/s＝0.618 kg·m/s.
(3)存在误差的主要原因是纸带与打点计时器限位孔有摩擦．
【答案】 (1)接通打点计时器的电源 放开滑块
(2)0.620 0.618 (3)纸带与打点计时器限位孔有摩擦
(对应学生用书第222页)
1.
图13－1－7
(2012·福建高考)如图13－1－7所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为( )
A．v0＋v B．v0－v
C．v0＋(v0＋v) D．v0＋(v0－v)
【解析】 小船和救生员组成的系统满足动量守恒：
(M＋m)v0＝m·(－v)＋Mv′
解得v′＝v0＋(v0＋v)
故C项正确，A、B、D三项均错．
【答案】 C
2.
图13－1－8
在2010年温哥华冬奥会上，首次参赛的中国女子冰壶队喜获铜牌，如图13－1－8为中国队员投掷冰壶的镜头．在某次投掷中，冰壶运动一段时间后以0.4 m/s的速度与对方的静止冰壶发生正碰，碰后对方的冰壶以0.3 m/s的速度向前滑行．若两冰壶质量相等，规定向前运动的方向为正方向，则碰后中国队冰壶获得的速度为( )
A．0.1 m/s B．－0.1 m/s
C．0.7 m/s D．－0.7 m/s
【解析】 设冰壶质量为m，碰后中国队冰壶速度为vx，
由动量守恒定律得
mv0＝mv＋mvx
解得vx＝0.1 m/s，故选项A正确．
【答案】 A
3.
图13－1－9
如图13－1－9所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动．两球质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则( )
A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
【解析】 由mB＝2mA，pA＝pB知碰前vB＜vA
若左为A球，设碰后二者速度分别为v′A、v′B
由题意知p′A＝mAv′A＝2 kg·m/s
p′B＝mBv′B＝10 kg·m/s
由以上各式得＝，故正确选项为A.
若右为A球，由于碰前动量都为6 kg·m/s，即都向右运动，两球不可能相碰．
【答案】 A
4.
图13－1－10
(2012·长沙模拟)如图13－1－10所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上木板后在木板上最多能滑行的距离为( )
A．L B. C. D.
【解析】 固定时，由动能定理得：μMgL＝Mv，后来木板不固定有Mv0＝2Mv，μMgs＝Mv－·2Mv2，故得s＝.D项正确，A、B、C项错误．
【答案】 D
5．(2012·西安一模)如图13－1－11所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m的物体A相连，A放在光滑水平面上，有一质量与A相同的物体B，从高h处由静止开始沿光滑曲面滑下，与A相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B与A分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是( )
图13－1－11
A．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh
B．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为
C．B能达到的最大高度为
D．B能达到的最大高度为h
【解析】 根据机械能守恒定律可得B刚到达水平地面的速度v0＝，根据动量守恒定律可得A与B碰撞后的速度为v＝v0，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为Epm＝·2mv2＝mgh，即A错，B正确；当弹簧再次恢复原长时，A与B将分开，B以v的速度沿斜面上滑，根据机械能守恒定律可得mgh′＝mv2，B能达到的最大高度为h/4，即D错误．
【答案】 B
6.
图13－1－12
(2012·大纲全国高考)如图13－1－12，大小相同的摆球a和b的质量分别为m和3m，摆长相同，并排悬挂，平衡时两球刚好接触．现将摆球a向左拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列判断正确的是( )
A．第一次碰撞后的瞬间，两球的速度大小相等
B．第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等
C．第一次碰撞后，两球的最大摆角不相同
D．发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置
【解析】 弹性碰撞遵守能量守恒和动量守恒，设第一次碰撞前，a的速度为v，第一次碰撞后a的速度为v1、b的速度为v2，根据动量守恒，得mv＝mv1＋3mv2①
根据能量守恒，得：mv2＝mv＋×3mv②
①②联立得：v1＝－v，v2＝v，故A选项正确；第一次碰撞后瞬间，a的动量大小为mv，b的动量大小为mv，故B选项错误；由于第一次碰撞后瞬间的速度大小相等，根据机械能守恒可知，两球的最大摆角相等，C选项错误；由于摆长相同，两球的振动周期相等，所以第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置，D选项正确．
【答案】 AD
7．气垫导轨工作时能够通过喷出的气体使滑块悬浮从而基本消除掉摩擦力的影响．因此成为重要的实验器材，气垫导轨和光电门、数字毫秒计配合使用能完成许多实验．
现提供以下实验器材：
图13－1－13
利用以上实验器材还可以完成“验证动量守恒定律”的实验．
为完成此实验，某同学将实验原理设定为：
m1v0＝(m1＋m2)v
(1)针对此原理，我们应选择的器材编号为：________；
(2)在我们所选的器材中：________器材对应原理中的m1(填写器材编号)．
【解析】 (1)滑块在水平气垫导轨上相互作用时应满足动量守恒，碰撞前后滑块的速度可以根据v＝求得，其中d是遮光板的宽度，t是滑块通过光电门的时间，故针对此原理应选择的器材编号为A、B、C.
(2)由于是利用v＝求滑块的速度，滑块B有遮光板，而滑块C没有遮光板，故先运动的滑块应选B.
【答案】 (1)ABC (2)B
8.
图13－1－14
如图13－1－14所示，光滑水平直轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧(弹簧与滑块不拴接)．开始时A、B以共同速度v0运动，C静止．某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同．求B与C碰撞前B的速度．
【解析】 设共同速度为v，球A与B分开后，B的速度为vB，由动量守恒定律(mA＋mB)v0＝mAv＋mBvB①
mBvB＝(mB＋mC)v②
联立①②式，得B与C碰撞前B的速度vB＝v0.
【答案】 v0
9.
图13－1－15
如图13－1－15所示，光滑水平桌面上有长L＝2 m的挡板C，质量mC＝5 kg，在其正中央并排放着两个小滑块A和B，mA＝1 kg，mB＝3 kg，开始时三个物体都静止．在A、B间放有少量塑胶炸药，爆炸后A以6 m/s速度水平向左运动，A、B中任意一块与挡板C碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：
(1)当两滑块A、B都与挡板C碰撞后，C的速度是多大；
(2)A、C碰撞过程中损失的机械能．
【解析】 (1)A、B、C系统动量守恒0＝(mA＋mB＋mC)vC
vC＝0.
(2)炸药爆炸时A、B系统动量守恒mAvA＝mBvB
解得：vB＝2 m/s A、C碰撞前后系统动量守恒
mAvA＝(mA＋mC)v v＝1 m/s
ΔE＝mAv－(mA＋mC)v2＝15 J.
【答案】 (1)0 (2)15 J
10．(2012·江西八校联考)如图13－1－16所示，在光滑水平面上有质量均为m的两辆小车A和B，A车上表面光滑水平，其上表面左端有一质量为M的小物块C(可看做质点)．B车上表面是一个光滑的圆弧槽，圆弧槽底端的切线与A的上表面相平．现在A和C以共同速度v0冲向静止的B车，A、B碰后粘合在一起，之后物块C滑离A，恰好能到达B的圆弧槽的最高点．已知M＝2m，v0＝4 m/s，取g＝10 m/s2.求圆弧槽的半径R.
图13－1－16
【解析】 设A、B碰后的共同速度为v1，C到达最高点时A、B、C的共同速度为v2，A、B碰撞过程动量守恒：
mv0＝2mv1
C冲上圆弧最高点过程系统
动量守恒：
Mv0＋2mv1＝(M＋2m)v2
机械能守恒：
Mv＋2×mv＝(M＋2m)v＋MgR
联立以上三式解得：R＝
代入数据得：R＝0.1 m
【答案】 0.1 m
11.
图13－1－17
(2012·新课标全国高考)如图13－1－17，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
(1)两球a、b的质量之比；
(2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比．
【解析】 (1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得
m2gL＝m2v2①
式中g是重力加速度的大小。设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正。由动量守恒定律得
m2v＝(m1＋m2)v′②
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cos θ)③
联立①②③式得
＝－1④
代入题给数据得
＝－1.⑤
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失是
Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cos θ)⑥
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek之比为
＝1－(1－cos θ)⑦
联立⑤⑦式，并代入题给数据得
＝1－.⑧
【答案】 (1)－1 (2)1－
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