描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
(1)描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
(1)v＝＝(2)单位：m/s
角速度
(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(2)中学不研究其方向
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期和转速
(1)周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)
(2)转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)，也叫频率(f)
(1)T＝＝，单位：s
(2)n的单位：r/s、r/min
(3)f＝，单位：Hz
向心力
(1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
(2)方向指向圆心
(1)Fn＝mω2r＝m＝mr
(2)单位：N
相互
关系
(1)v＝ωr＝＝2πrf
(2)an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
(3)Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝m·4π2f2r
1．在传动装置中各物理量的关系
(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小an＝rω2与半径r成正比。
(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝、an＝确定。
2．用动力学方法解决圆周运动中的问题
(1)向心力的向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
(2)向心力的确定：
①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
②分析物体的受力情况，找出所有的力，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
(3)解决圆周运动问题的主要步骤：
①审清题意，确定研究对象；
②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
⑤求解、讨论。
1．如图4－3－1所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
图4－3－1
A. B.
C. D.
解析：选A 本题相当于皮带轮的连接，各个轮边缘的线速度大小相同。即v1＝ω1r1＝v2＝ω2r2＝v3＝ω3r3，故A选项正确。
匀速圆周运动和非匀速圆周运动
1．匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小不变的圆周运动。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件：
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．非匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。
(2)合力的作用：
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，
Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，
Fn＝man，它只改变速度的方向。
竖直面内圆周运动问题分析
物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常有两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由小球能运动即可，得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
2.如图4－3－2所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
图4－3－2
A．物体的合外力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
解析：选D 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合外力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直，B、C错，D对。
离心运动和近心运动
1．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。
图4－3－3
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
(3)受力特点：
①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当Fmω2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
(1)物体做离心运动并非物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现。
(2)物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
3．物体做匀速圆周运动时，如果向心力突然消失，则下列说法正确的是( )
A．物体将继续在原来的圆周上运动
B．物体将沿着圆周的切线方向飞出去
C．物体将沿着切线和圆周之间的某一条曲线向远离圆心的方向运动
D．以上说法均不对
解析：选B 做匀速圆周运动的物体，任一位置的速度方向均沿该点圆周的切线方向。当向心力突然消失时，物体由于具有惯性，将沿圆周的切线方向飞出去，故B项正确。
传动装置问题
[命题分析] 传动装置问题考查了圆周运动各物理量的关系，在高考中常被考查到，考查的题型一般为选择题。
[例1] 如图4－3－4所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)
图4－3－4
[解析] 大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小相等，由v＝2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为：n1∶n小＝R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系为：n车＝n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为：n车∶n2＝r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为：n1∶n2＝2∶175。
[答案] 2∶175
[变式训练]
1．如图4－3－5所示装置中，A、B、C三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
图4－3－5
解析：va＝vc，而vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，所以va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4；ωa∶ωb＝2∶1，而ωb＝ωc＝ωd，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1；再利用a＝vω，可得aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4。
答案：见解析
水平面内的匀速圆周运动
[命题分析] 汽车、火车的转弯等实际应用问题属于典型的水平面内的匀速圆周运动问题，是高考的热点，且常与牛顿运动定律、功能关系等知识综合起来考查。
[例2] 随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行，为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面。如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图4－3－6所示。(重力加速度g取10 m/s2)
图4－3－6
(1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？
(2)若取sin θ＝，r＝60 m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为μ＝0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？
[解析] (1)汽车受力分析如图所示，
竖直方向：FNcos θ＝mg＋Ffsin θ
水平方向：FNsin θ＋Ffcos θ＝m
又Ff＝μFN
联立可得v＝ 。
(2)代入数据可得：v＝14.6 m/s。
[答案] (1) (2)14.6 m/s
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水平面内的匀速圆周运动规律总结
(1)实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等。
(2)特点：
①运动轨迹是圆且在水平面内；
②向心力的方向水平，竖直方向的合力为零。
(3)解答方法：
①对研究对象受力分析，确定向心力的来源；
②确定圆周运动的圆心和半径；
③应用相关力学规律列方程求解。
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[变式训练]
2．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图4－3－7中有两位驾驶摩托车的杂技演员A、B，他们离地面的高度分别为hA和hB，且hA>hB，下列说法中正确的是( )
图4－3－7
A．A摩托车对侧壁的压力较大
B．A摩托车做圆周运动的向心力较大
C．A摩托车做圆周运动的周期较小
D．A摩托车做圆周运动的线速度较大
解析：选D 以摩托车为研究对象，受力分析如图所示，则有FNsin θ＝mg，FNcos θ＝m＝mR()2，因侧壁与竖直方向的夹角θ与h无关，故压力FN不变，向心力不变，h越高，R越大，则T越大，v越大。
竖直面内圆周运动问题
[命题分析] 本考点是高考的热点，常结合牛顿运动定律、功能关系等综合考查，考查的题型有选择题和计算题。
图4－3－8
[例3] (2013·重庆模拟)如图4－3－8所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内。A通过最高点C时，对管壁上部压力为3 mg，B通过最高点C时，对管壁下部压力为0.75 mg，求A、B两球落地点间的距离。
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)内径很小的光滑半圆管竖直放置
无摩擦力，只有重力做功，且小球从C点飞出后做平抛运动
(2)A对管壁上部压力为3 mg
A球在C点的向心力为4 mg
(3)B通过C时，对管壁下部压力为0.75 mg
B球在C点的向心力为0.25 mg
第二步：找解题突破口
(1)首先根据A、B两球在C点的向心力，利用牛顿第二定律求出两球平抛运动的初速度。
(2)根据平抛运动的规律求出两球落地点间的距离。
第三步：条理作答
[解析] A球通过最高点时，由牛顿第二定律
FNA＋mg＝m
已知FNA＝3mg，得vA＝2
B球通过最高点时，由牛顿第二定律
mg－FNB＝m
已知 FNB＝0.75mg，得vB＝
平抛落地时间t＝
故两球落地点间的距离Δl＝(vA－vB)t
解得Δl＝3R
[答案] 3R
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竖直面内的管道类似于竖直面内的杆模型，物体在管道内上升到最高点的速度可以为零，管道对物体可以提供向上的支持力，也可以提供向下的压力。
—————————————————————————————————————— [变式训练]
3．如图4－3－9所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是( )
图4－3－9
A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)g
B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(M－m)g
C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m＋M)g
解析：选D 在释放前的瞬间绳拉力为零，
对M：对地面的压力F＝Mg；
当摆球运动到最低点时，由机械能守恒定律得
mgR＝mv2 ①
由牛顿第二定律得：FT－mg＝m ②
由①②得绳对小球的拉力FT＝3mg
对支架M由受力平衡，地面支持力FN＝Mg＋3mg
由牛顿第三定律知，支架对地面的压力F′N＝3mg＋Mg，
故选项D正确。
开“芯”技法——巧用两类圆锥摆
分析计算圆周运动时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力，且在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动问题。因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题，最常见的圆锥摆运动有以下两类：
(1)类型一：长度不同且具有相同高度的圆锥摆具有相同的周期。
如图4－3－10所示，A、B两小球的质量分别为m、M，分别与竖直方向成夹角为θ、β的两悬线长分别为l、L。
图4－3－10
推导：由图可知，由于A、B两球在同一水平面上做匀速圆周运动，根据合成法可得两小球受到的向心力分别为：
FnA＝mgtan θ，FnB＝Mg tan β
则由a＝得向心力加速度为：anA＝gtan θ，anB＝gtan β；
由a＝Rω2＝，得T＝2π ；
而由图可知：R1＝htan θ，R2＝htan β；
联立以上各式可得T1＝T2＝2π 。
由上式可知，高度相同的圆锥摆具有相同的运动周期，且运动物体的周期只与圆锥摆的高度的二次方根成正比，而与其质量及悬线长度无关。
(2)类型二：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆具有相同的加速度。
图4－3－11
如图4－3－11所示，A、B两小球的质量分别为m、M，与竖直方向的夹角均为θ，两悬线长分别为l、L，现使两小球均在水平面上做匀速圆周运动。
推导：由图可知，A、B两小球做匀速圆周运动的向心力分别为：FnA＝mgtan θ，FnB＝Mgtan θ；
则由牛顿第二定律Fn＝ma得向心加速度为：anA＝anB＝gtan θ。
由此可知：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆具有相同的加速度，且运动物体的向心加速度只与圆锥摆的锥度角的正切值成正比，与其质量与悬线长度无关。
(3)结论应用及延伸：
①判断做圆锥摆运动的物体的线速度、角速度和周期的大小关系，主要公式依据是：a＝＝Rω2＝。
②对于高度相等的圆锥摆，则可依据周期T不变进行相关物理量的大小比较。
③对于锥度角相同的圆锥摆，则可依据加速度a不变进行相关物理量的大小比较。
[示例] 如图4－3－12所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是( )
图4－3－12
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定小于B球的角速度
C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
[解析] 根据上述规律可知，此题中的A、B两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a＝＝Rω2＝可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由RA>RB，可知vA>vB，ωA<ωB，TA>TB，则选项C错误，A、B正确；由于A、B质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D错误。
[答案] AB
[名师点评] 比较两个圆周运动的各物理量之间关系时，实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的相同因素，然后用控制变量法思想即可判断各物理量的关系。若例题中两小球质量不相等，则上述运动量仍然符合规律，只是弹力和向心力发生变化而已，这是在分析问题时要注意的一个细节问题。
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