第4讲 万有引力与航天
(对应学生用书第64页)
万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式
F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
【针对训练】
1．(2013届佛山检测)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【解析】 设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意＝2.7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝，月球对海水的引力F2＝，则＝＝＝，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确．
【答案】 AD
万有引力定律应用及三种宇宙速度
1.万有引力定律基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝mgr＝ma＝
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
2．三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇
宙速度
(环绕速度)
7.9
这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕地球运行
第二宇
宙速度
(逃逸速度)
11.2
是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕太阳运行
第三宇
宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
【针对训练】
2．(2012·浙江高考)如图4－4－1所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图4－4－1
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【解析】 根据F＝G，小行星带中各小行星的轨道半径r、质量m均不确定，因此无法比较太阳对各小行星引力的大小，选项A错误；根据G＝m()2r得，T＝2π，因小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球绕太阳运动的轨道半径，故小行星的运动周期大于地球的公转周期，即大于一年，选项B错误；根据G＝ma得a＝，所以内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；根据G＝，得v＝，所以小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误．
【答案】 C
同步卫星的运行特点
1.轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
2．周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
3．角速度一定：与地球自转的角速度相同．
4．高度一定：由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R.
5．速率一定：v＝ .
【针对训练】
3．我国数据中继卫星“天链一号02星”在西昌卫星发射中心，于2011年7月11日23时41分发射升空，之后经过变轨控制后，成功定点在赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号02星”，下列说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
【解析】 7.9 km/s是第一宇宙速度，是所有地球卫星的最大运转速度，故A错误；因“天链一号02星”是同步卫星，其轨道半径大于地球半径，而小于月球的轨道半径，B、C均正确；因该星与赤道上物体的角速度相同，但到地心距离不同(r＞R)，由a向＝rω2得a星＞a物，故D错误．
【答案】 BC
经典时空观和相对论时空观
1.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝ .
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
(对应学生用书第65页)
万有引力定律在天体运动中的应用
1.基本方法
把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．
G＝m＝mω2r＝m()2r＝m(2πf)2r
2．中心天体的质量M、密度ρ的估算
(1)利用卫星的轨道半径r和周期T
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由G＝m()2r，
可得天体质量为：M＝.
该中心天体密度为：ρ＝＝＝(R为中心天体的半径)．
当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝.
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2011·安徽高考)(1)开普勒行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太；
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
【审题视点】 (1)已知引力常量G，太阳质量M，导出太阳系中常量k.
(2)＝k也适用地月系统，但不同天体系统k值不同．
【解析】 (1)因行星绕太阳做圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝m行()2r①
于是有＝M太②
即k＝M太．③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得＝M地④
解得M地＝6×1024 kg(5×1024 kg也算对)．⑤
【答案】 (1)k＝M太 (2)6×1024 kg
求中心天体质量的途径
依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径
(1)M＝，若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r；
(2)M＝，若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r；
(3)M＝，若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r；
(4)M＝，若已知卫星运行的线速度v和周期T.
【即学即用】
1．(2013届山东威海一中检测)如图4－4－2所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
图4－4－2
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
【解析】 设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝.
【答案】 D
卫星的发射和运行
1.卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
2．卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)卫星在圆轨道上的稳定运行
G＝m＝mrω2＝mr()2，
由此可推出
(2)变轨运行分析
①当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
②当卫星的速度减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)
图4－4－3
(2013届汉中质检)2012年6月18日早上5点43分“神舟九号”飞船完成了最后一次变轨，在与“天宫一号”对接之前“神舟九号”共完成了4次变轨，“神舟九号”某次变轨的示意图如图4－4－3所示，在A点从椭圆轨道Ⅱ进入圆形轨道Ⅰ，B为轨道Ⅱ上的一点．关于飞船的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【审题视点】 (1)轨道Ⅱ为椭圆轨道，需要利用开普勒定律解决速度、周期问题．
(2)明确变轨前后速度的变化．
【解析】 轨道Ⅱ为椭圆轨道，根据开普勒第二定律，飞船与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知近地点的速度大于远地点的速度，故A正确．根据开普勒第三定律，飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ满足：＝，又R＞a，可知TⅠ＞TⅡ，故C正确．飞船在A点变轨时，从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ需加速，又Ek＝mv2，故B正确．无论在轨道Ⅰ上还是在轨道Ⅱ上，A点到地球的距离不变，飞船受到的万有引力一样，由牛顿第二定律可知向心加速度相同，故D错误．
【答案】 ABC
【即学即用】
2．(2012·四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )
A．向心力较小
B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度
D．角速度较小
【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向＝G知，两卫星的向心力F1>F2，选项A错误；根据G＝＝mω2r，得环绕速度v1>v2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能Ek1>Ek2，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v01
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