万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．公式
F＝G
其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
两个质点之间的相互作用。
(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离。
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为质点到球心间的距离。
1．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换。(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝mr＝man。
2．天体质量和密度的计算
(1)估算中心天体的质量：
①从环绕天体出发：由M＝知通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量M。
②从中心天体本身出发：由M＝知只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量M。
(2)估算中心天体的密度ρ：
①由ρ＝知，测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，就可估算出中心天体的密度。(R0为天体的半径)
②若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r＝R0，则由ρ＝知，测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，就可估算中心天体的密度。
1．我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列，在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送操作指令到接收到卫星已操作信息需要的时间为t(设卫星接收到操作信息立即操作，并立即发送已操作信息回中心)，测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 卫星离地的高度为，运动轨道半径为R＋，则G＝m(R＋)()2，由此求得地球质量M＝。
三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
1．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：
当r增大时
2．卫星的变轨问题
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，Gm，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理。
3．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
4．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
2．现代宇宙学告诉我们，恒星在演变过程中，会形成一种密度很大的天体，称为白矮星或中子星。1 m3的中子星物质的质量为1.5×1017 kg，绕此中子星运行的卫星的最小周期为多少？若某一中子星的半径为10 km，求此中子星的第一宇宙速度。(计算结果保留一位有效数字，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，球的体积V＝πR3)
解析：中子星的质量M＝πR3ρ ①
G＝m()2R ②
由①②两式得：Tmin＝，代入数据得：T＝1×10－3 s。
G＝m ③
由①③两式得：v＝，代入数据得：v＝6×107 m/s。
答案：1×10－3 s 6×107 m/s
经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝。
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
两种时空观的理解
(1)经典时空观认为时间和空间是脱离物质而存在的，是绝对的，时间和空间之间也是没有联系的。
(2)相对论时空观认为有物质才有时间和空间，空间和时间与物质的运动状态有关，它们不是相互独立的。
3．在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变化而变化，其原因是( )
A．物体运动无法称质量
B．物体的速度远小于光速，质量变化极小
C．物体质量太大
D．物体的质量不随速度变化而变化
解析：选B 物体的速度远小于光速时，随速度的变化，物体质量变化很小，这种变化可以忽略不计，故选B。
天体质量和密度的估算
[命题分析] 本考点是高考中的重要考点，在历年高考中几乎都有涉及，题型一般为选择题，难度中等。
[例1] (2011·江苏高考)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为 T，速度为 v。引力常量为 G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
[解析] 因v＝ωr＝，所以r＝，C正确；结合万有引力定律公式＝m，可解得恒星的质量M＝，A正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，B错误；行星的加速度a＝ω2r＝×＝，D正确。
[答案] ACD
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中心天体的质量和密度的估算方法
(1)测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量：G＝mg进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量：
即G＝mr即GM＝
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。
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[变式训练]
1．(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知行星表面的重力加速度为g＝，又在行星表面有g＝，卫星在行星表面运行时有m′g＝m′，联立解得M＝，故选项B正确。
卫星运行规律及宇宙速度
[命题分析] 本考点是高考的热点，在历年考试中几乎都有涉及，题型一般为选择题；本考点还常与牛顿运动定律、直线运动规律等综合起来考查。
[例2] (2013·江西省中学第二次联考)2011年4月10日4时47分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，成功将第八颗北斗导航卫星送入太空轨道。“北斗”卫星导航定位系统将由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成(如图4－4－1所示)，30颗非静止轨道卫星中有27颗是中轨道卫星，中轨道卫星平均分布在倾角55度的三个平面上，轨道高度约为21 500公里，静止轨道卫星的高度约为36 000公里，地球半径约为6 400公里。已知 ≈0.53，下列关于北斗导航卫星的说法正确的是( )
图4－4－1
A．静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星大
B．静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度
C．中轨道卫星的周期约为12.7 h
D．地球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星大
[解析] 由a＝得A项错；由v＝得B项错；由T＝2π 得：＝ 得C项正确；由a向＝ω2r得D项错。
[答案] C
[变式训练]
2．(2012·安徽高考)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km。它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
解析：选B 用万有引力定律处理天体问题的基本方法是：把天体的运动看成圆周运动，其做圆周运动的向心力由万有引力提供。G＝m＝mrω2＝mr()2＝m(2πf)2r＝ma，只有选项B正确。
卫星的变轨问题
[命题分析] 本考点是高考中的重要考点，在近几年的高考试卷中，命题率越来越高，题型一般为选择题。
[例3] (2013·山东潍坊模拟)按照我国月球探测活动计划，在第一步“绕月”工程圆满完成任务后，将开展第二步“落月”工程，预计在2013年前完成。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是( )
图4－4－2
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
B．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间为2π
C．飞船在A点点火变轨的瞬间，动能增加
D．飞船在A点的线速度大于在B点的线速度
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)月球半径为R，表面重力加速度为g
飞船在轨道Ⅰ的速度
(2)在A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ
点火后的瞬间，速度变小
(3)在B点点火变轨进入轨道Ⅲ
运行速度大于轨道Ⅰ上的速度
第二步：找解题突破口
变轨是通过在两轨道的切点瞬间改变速度来实现的，但点火后瞬间的速度并不是稳定运行时的速度
第三步：条理作答
[解析] 在轨道Ⅰ上，r＝4R万有引力为飞船做圆周运动提供向心力＝，在月球表面G＝mg0，v＝，A错误；由G＝m()2R知，T＝2π，B正确；
飞船在A点点火变轨的瞬间，做近心运动应减速，动能减小，故C错误；椭圆轨道Ⅱ的近月点B线速度大，故D错误。
[答案] B
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?1?当v增大时，所需向心力m 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。
?2?当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。
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[变式训练]
3．(2012·山东高考)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B “天宫一号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝m可得v＝，则变轨前后＝，选项B正确。
万能模型——双星模型
宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，其特点如下：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等；
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L。
[示例] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起。
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。
(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式。
[解析] (1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上。
设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示。对两天体，由万有引力定律可分别列出
G＝m1ω2R1 ①
G＝m2ω2R2 ②
所以＝，所以＝＝＝，
即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比。
(2)由①②两式相加得G＝ω2(R1＋R2)，因为R1＋R2＝L，所以ω＝。
[答案] (1)见解析 (2)ω＝
[模型构建]
(1)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源。双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
(2)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系。两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
(3)要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系。设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
M1：G＝M1 ＝M1r1ω
M2：G＝M2 ＝M2r2ω
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
[变式训练]
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道上运行。设每个星体的质量均为m，引力常量为G。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：(1)三颗星位于同一直线上，其中一颗星受到另外两颗星的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
＋＝m
解得线速度v＝
由牛顿第二定律＋＝m()2R
解得周期T＝4πR 。
(2)设第二种情形下星体做圆周运动的半径为r，则相邻两星体间距离x＝r，相邻两星体之间的万有引力
F＝＝
由星体做圆周运动可知
F＝m()2r
由以上各式解得x＝R。
答案：(1) 4πR (2) R
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