第五章 动能的变化与机械功 能量守恒
考 纲 要 求
高考频度
备 考 指 导
1.功和功率Ⅱ
★★★
2.动能和动能定理Ⅱ
★★★★★
3.重力做功与重力势能Ⅱ
★★
4.功能关系、机械能守恒定律及其应用Ⅱ
★★★★★
实验五：探究动能定理
★★★★
实验六：验证机械能守恒定律
★★★
1.准确掌握功、功率、动能、势能、机械能等重要概念及相关物理量的判断和计算．
2.理解动能定理的含义，并能熟练应用动能定理解决问题．
3.理解机械能守恒的条件，掌握机械能守恒定律的应用．
4.熟练利用功能关系和能量守恒定律，结合牛顿运动定律、平抛运动和圆周运动、电磁学等相关内容处理综合性的问题.
第1讲 功和功率
(对应学生用书第70页)
功
1.做功的两个要素
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式：W＝Fscos_α
(1)该公式只适用于恒力做功．
(2)α是力与位移方向的夹角，s为物体对地的位移．
3．功的正负的意义
(1)功是标量，但有正负之分，正功表示动力对物体做功，负功表示阻力对物体做功．
(2)一个力对物体做负功，往往说成是物体克服这个力做功(取绝对值)．
【针对训练】
1.
图5－1－1
如图5－1－1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合外力对物体做正功
【解析】 物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，合外力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．
【答案】 AC
功 率
1.定义
功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义
描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
【针对训练】
2．(2012·上海高考)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )
图5－1－2
A．F2＝F1 v1＞v2 B．F2＝F1 v1＜v2
C．F2＞F1 v1＞v2 D．F2＜F1 v1＜v2
【解析】 设F2与水平方向成θ角，由题意可知：F1v1＝F2·v2·cos θ，因cos θ＜1，故F1v1＜F2v2.当F2＝F1时，一定有v1＜v2，故选项A错误、B正确．当F2＞F1时，有v1＞v2、v1＜v2、v1＝v2三种可能，故选项C错误．当F2＜F1时，一定有v1＜v2，故D选项正确．
【答案】 BD
(对应学生用书第71页)
功的正负判断方法
1.根据夹角判断
力与
位移
的夹
角
在推力F作用下，斜面与
物块一起水平运动
(1)G对m不做功
(2)FN对m做正功
(3)Ff对m做负功
力与
瞬时
速度
的夹
角
卫星由位置1到2的过程中，F与v的夹角大于90°做负功
2.从能的转化角度来进行判断
图5－1－3
此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况．
例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图5－1－3中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功．因为绳的拉力使车的动能增加了．又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功．
(1)作用力和反作用力虽然等大反向，但由于其分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等．
(2)摩擦力并非只做负功，可以做正功、负功或不做功．
(2013届长春模拟)如图5－1－4所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于O点，重球置于一个斜面不光滑的斜劈M上，用水平力F向左推动斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是( )
图5－1－4
A．M、m间的摩擦力对m不做功
B．M、m间的摩擦力对m做负功
C．F对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等
D．M、m间的弹力对m做正功
【审题视点】 “斜面不光滑”、“光滑水平桌面”、“匀速”．
【解析】 小球在向左摆动过程中，M对m的摩擦力方向与小球m的位移方向间夹角小于90°，故摩擦力对m做正功，A、B均错误；因M匀速向左运动，地面对M的支持力和M的重力不做功，一定有F对M所做的功与m对M所做的功合功为零，C正确；M对m的弹力方向与m位移方向夹角小于90°，故对m做正功，D项正确．
【答案】 CD
【即学即用】
1.
图5－1－5
人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图5－1－5中的a点运动到b点的过程中( )
A．万有引力对卫星做正功
B．万有引力对卫星做负功
C．万有引力对卫星先做正功，再做负功
D．万有引力对卫星一直不做功
【解析】 由于图中万有引力与速度方向夹角始终小于90°，故在此过程中万有引力对卫星做正功，A正确．
【答案】 A
功 的 计 算
1.求解恒力做功的流程图
2．变力做功
(1)用动能定理：W＝mv－mv.
(2)若功率恒定，则用W＝Pt计算．
3．滑动摩擦力做的功有时可以用力和路程的乘积计算．
4．多个力的合力做的功
(1)先求F合，再根据W＝F合·scos α计算，一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．
(2)先求各个力做的功W1、W2…Wn，再根据W总＝W1＋W2＋…＋Wn计算总功，这是求合力做功常用的方法．
图5－1－6
(2013届宝鸡模拟)如图5－1－6所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，求这一过程中
(1)人拉绳子的力做的功；
(2)物体的重力做的功；
(3)物体受到的合力对物体做的总功．
【解析】 (1)工人拉绳子的力：
F＝mgsin θ
工人将料车拉到斜面顶端时，拉绳子的长度：l＝2L，根据公式W＝Flcos α，得
W1＝mgsin θ·2L＝2 000 J.
(2)重力做功：
W2＝－mgh＝－mgLsin θ＝－2 000 J.
(3)由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0.
【答案】 (1)2 000 J (2)－2 000 J (3)0
【即学即用】
2．人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图5－1－7所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°.当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动l＝2 m而到达B点时，绳与水平方向成30°角．则人对绳的拉力做了多少功？
图5－1－7
【解析】 人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg.而重物上升的高度h等于右侧绳子的伸长量Δl，由几何关系易得：h(cot 30°－cot 60°)＝l，Δl＝－，解得Δl＝1.46 m．人对绳子做的功W＝mgΔl＝500×1.46 J＝730 J.
【答案】 730 J
功率的计算与判断
(2011·海南高考)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用．下列判断正确的是( )
A．0～2 s内外力的平均功率是 W
B．第2秒内外力所做的功是 J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
【审题视点】 (1)平均功率＝中，W为0～2 s内外力的总功．
(2)瞬时功率P＝F·v，第2 s末瞬时速度v最大，瞬时功率P不一定最大．
【解析】 由题意知质点所受的水平外力即为合力，则知质点在这2秒内的加速度分别为a1＝2 m/s2、a2＝1 m/s2，则质点在第1 s末与第2 s末的速度分别为v1＝2 m/s、v2＝3 m/s，每一秒内质点动能的增加量分别为ΔEk1＝mv＝2 J、ΔEk2＝mv－mv＝2.5 J，D正确．再由动能定理可知第2 s内与0～2 s内外力所做功分别为W2＝ΔEk2＝2.5 J、W＝mv－0＝4.5 J，则在0～2 s内外力的平均功率P＝＝ W，A正确、B错误．由P＝Fv知质点在第1 s末与第2 s末的瞬时功率分别为P1＝4 W、P2＝3 W，故C错误．
【答案】 AD
【即学即用】
3．(2012·江苏高考)如图5－1－8所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )
图5－1－8
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
【解析】 小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A项正确．
【答案】 A
(对应学生用书第72页)
机车启动问题
机动车等交通工具，在启动的时候，通常有两种启动方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动．现比较如下：
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图
和
v－t图
OA
段
过程分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不变?F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB
段
过程分析
F＝F阻?a＝0
?F阻＝
v↑?F＝↓
?a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动，在B点达到最大速度vm＝
(2012·大连八中模拟)高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图象．现利用这架照相机对MD－2 000家用汽车的加速性能进行研究，图5－1－9为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为4 m，照相机每两次曝光的时间间隔为2.0 s．已知该汽车的质量为1 000 kg，额定功率为90 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为1 500 N.
(1)试利用图示，求该汽车的加速度；
(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，匀加速运动状态最多能保持多长时间；
(3)汽车所能达到的最大速度是多大；
(4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过3 000 N，求汽车运动2 400 m所用的最短时间(汽车已经达到最大速度)．
图5－1－9
【潜点探究】 (1)由图片信息，利用位移差为aT2，可求加速度．
(2)匀加速阶段结合牛顿定律、功率公式，可求末速度．再由速度公式可求加速时间．
(3)分两个阶段找出时间．
【规范解答】 (1)由图可得汽车在第1个2 s时间内的位移x1＝9 m，第2个2 s时间内的位移x2＝15 m.
汽车的加速度a＝＝1.5 m/s2.
(2)由F－f＝ma得，汽车牵引力F＝f＋ma＝(1 500＋1 000×1.5) N＝3 000 N
汽车做匀加速运动的末速度v＝＝ m/s＝30 m/s
匀加速运动保持的时间t1＝＝ s＝20 s.
(3)汽车所能达到的最大速度vm＝＝ m/s＝60 m/s.
(4)由(1)、(2)知匀加速运动的时间t1＝20 s，运动的距离x′1＝＝(30×) m＝300 m
所以，后阶段以恒定功率运动的距离x′2＝(2 400－300) m＝2 100 m
对后阶段以恒定功率运动，有：P额t2－fx′2＝m(v－v2)
解得t2＝50 s
所以，所求时间为t总＝t1＋t2＝(20＋50) s＝70 s.
【答案】 (1)1.5 m/s2 (2)20 s (3)60 m/s (4)70 s
【即学即用】
4．(2013届赤峰模拟)汽车在平直的公路上以恒定的功率启动，设阻力恒定，则图5－1－10中关于汽车运动过程中加速度、速度随时间变化的关系，以下判断正确的是( )
图5－1－10
A．汽车的加速度—时间图象可用图乙描述
B．汽车的速度—时间图象可用图甲描述
C．汽车的加速度—时间图象可用图丁描述
D．汽车的速度—时间图象可用图丙描述
【解析】 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，F＝，即－Ff＝ma，随着v的增大，物体做加速度减小的加速运动，在v－t图象上斜率应越来越小，故甲为汽车的速度—时间图象，B对，D错；因速度增加得越来越慢，由a＝－知，加速度减小得越来越慢，最后趋于零，故图乙为汽车加速度—时间图象，A对，C错．
【答案】 AB
(对应学生用书第73页)
●功大小的估算
1.
图5－1－11
(2011·江苏高考)如图5－1－11所示，演员正在进行杂技表演．由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于( )
A．0.3 J B．3 J
C．30 J D．300 J
【解析】 一只鸡蛋重约1 N，人的身高一般为1.6 m，则鸡蛋被抛出后能上升大约0.6 m，故鸡蛋被抛出的竖直速度v0＝＝2 m/s，人对鸡蛋做功为W＝mv＝0.6 J，最接近0.3 J，故A正确．
【答案】 A
●瞬时功率的计算
2.
图5－1－12
(2011·上海高考)如图5－1－12，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为( )
A．mgLω B.mgLω
C.mgLω D.mgLω
【解析】 由能的转化及守恒可知：拉力的功率等于克服重力的功率．PG＝mgvy＝mgvcos 60°＝mgωL，故选C.
【答案】 C
●功、功率与图象结合
3．(2012·天津高考)如图5－1－13甲所示，静止在水平地面的物块A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图5－1－13乙所示，设物块与地面的静摩擦力最大值fm与滑动摩擦力大小相等，则( )
图5－1－13
A．0－t1时间内F的功率逐渐增大
B．t2时刻物块A的加速度最大
C．t2时刻后物块A做反向运动
D．t3时刻物块A的动能最大
【解析】 在0～t1时间内物块A所受的合力为零，物块A处于静止状态，根据P＝Fv知，力F的功率为零，选项A错误；在t2时刻物块A受到的合力最大，根据牛顿第二定律知，此时物块A的加速度最大，选项B正确；物块A在t1～t2时间内做加速度增大的加速运动，在t2～t3时间内做加速度减小的加速运动，t3时刻，加速度等于零，速度最大，选项C错误，选项D正确．
【答案】 BD
●功的分析与判断
4.
图5－1－14
(2013届咸阳模拟)如图5－1－14所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J．用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是( )
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
【解析】 由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功．由受力分析知，支持力FN做正功，但摩擦力Ff方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由动能定理W－mgh＝0，故支持力FN做功为mgh，B正确．
【答案】 B
●功、功率在现实生活中的应用
5．(2012·北京高考)摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图5－1－15所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的．已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a－t图像如图5－1－16所示．电梯总质量m＝2.0×103 kg.忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
图5－1－15
(2)类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v－t图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图5－1－16所示a－t图像，求电梯在第1 s内的速度改变量Δv1和第2 s末的速率v2；
(3)求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0～11 s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W.
图5－1－16
【解析】 (1)由牛顿第二定律，有F－mg＝ma
由a－t图像可知，F1和F2对应的加速度分别是a1＝1.0 m/s2，a2＝－1.0 m/s2，则
F1＝m(g＋a1)＝2.0×103×(10＋1.0)N＝2.2×104 N
F2＝m(g＋a2)＝2.0×103×(10－1.0)N＝1.8×104 N.
(2)类比可得，所求速度变化量等于第1 s内a－t图线与t轴所围图形的面积，
可得Δv1＝0.5 m/s
同理可得Δv2＝v2－v0＝1.5 m/s
v0＝0，第2 s末的速率v2＝1.5 m/s.
(3)由a－t图像可知，11 s～30 s内速率最大，其值等于0～11 s内a－t图线与t轴所围图形的面积，此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率P＝Fvm＝mg·vm＝2.0×103×10×10 W＝2.0×105 W
由动能定理，总功W＝Ek2－Ek1＝mv－0＝×2.0×103×102 J＝1.0×105 J.
【答案】 (1)2.2×104 N 1.8×104 N (2)0.5 m/s 1.5 m/s (3)2.0×105 W 1.0×105 J
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