动 能
1．定义
物体由于运动而具有的能。
2．表达式
Ek＝mv2。
3．物理意义
动能是状态量，是标量。(填“矢量”或“标量”)
4．单位
动能的单位是焦耳。
1．动能的相对性
由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性，大小与参考系的选取有关，中学物理中，一般选取地面为参考系。
2．动能的变化
物体末动能与初动能之差。
即ΔEk＝mv－mv。
说明：(1)表达式中v1、v2均指瞬时速度。
(2)ΔEk>0，表示物体的动能增大；ΔEk<0，表示物体的动能减小。
(3)同一物体速度的变化量相同，但动能的变化量不相同。
1．一个小球从高处自由落下。则球在下落过程中的动能( )
A．与它下落的距离成正比
B．与它下落距离的平方成正比
C．与它运动的时间成正比
D．与它运动时间的平方成正比
解析：选AD 由动能定理mgh＝mv2可知A正确；又因为h＝gt2，代入上式得：mg2t2＝mv2，所以D正确。
动 能 定 理
1．内容
力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式
W＝mv－mv。
3．物理意义
合外力的功是物体动能变化的量度。
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
(1)动能定理公式中等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：
①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。
②单位关系：国际单位都是焦耳。
③因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因。
(2)动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。
(3)动能定理中涉及的物理量有F、x、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。
(4)高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系。
2．(2013·莆田一中段考)在光滑的水平地面上，一个质量为m的物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，经过时间t后，获得动能为Ek；如果要使物体由静止开始运动相同的时间t后获得的动能为2Ek，可以采取( )
A．质量不变，力变为2F
B．力不变，质量变为原来的一半
C．力不变，质量变为2m
D．将质量和力都变为原来的2倍
解析：选BD 由动能定理有Ek＝Fx，由运动学公式及牛顿第二定律有x＝at2，a＝，所以Ek＝，故B、D正确。
应用动能定理求变力的功
[命题分析] 求变力的功是高考中常涉及到的一类问题，用动能定理求变力的功又是最常用的一种方法，高考中可单独进行考查，也可作为大题中的一问进行考查。
[例1] (2012·玉溪模拟)如图5－2－1所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
图5－2－1
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx
[解析] 小车克服重力做功W＝mgh，A正确；由动能定理，小车受到的合力做的功等于小车动能的增量，W合＝ΔEk＝mv2，B正确；由动能定理，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，C错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，D正确。
[答案] ABD
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应用动能定理求变力做功时应注意的问题,
?1?所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔEk。
?2?合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能。
?3?若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W，则表达式中应用－W；也可以设变力的功为W，则字母W本身含有负号。
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[变式训练]
1.如图5－2－2所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m的物体。钢索拉电梯由静止开始向上加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )
图5－2－2
A．地板对物体的支持力做的功等于mv2
B．地板对物体的支持力做的功等于mgH
C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．合力对电梯M做的功等于Mv2
解析：选D 对物体m应用动能定理WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，A、B均错；以电梯和物体整体为研究对象应用动能定理，钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C错误；由动能定理知，合力对电梯M做的功应等于电梯动能的变化Mv2，故D正确。
动能定理的综合应用
[命题分析] 动能定理在高考中常被单独考查，也常与牛顿运动定律、电场等知识综合考查，有时在压轴题中还会被考查到。
[例2] 如图5－2－3所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉。已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。则：
图5－2－3
(1)小球到达B点时的速率？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
(3)若初速度v0＝3，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)P点处有一光滑的细钉
细线到达P点后，小球绕P点做圆周运动
(2)小球恰能到达B点
小球在B点时，细线张力为零，向心力由重力提供
第二步：找解题突破口
(1)小球在B点的速度可根据“重力提供向心力”得出，若不计空气阻力，可对过程“A→B”应用动能定理求出初速度。
(2)若考虑空气阻力，根据由A→B动能的变化利用动能定理求出空气阻力做的功。
第三步：条理作答
[解析] (1)小球恰能到达最高点B，由牛顿第二定律得mg＝m，得vB＝ 。
(2)小球从A→B由动能定理得：
－mg(L＋)＝mv－mv
可求出v0＝ 。
(3)有阻力时，小球从A→B由动能定理有：
－mg(L＋)－WFf＝mv－mv
解得WFf＝mgL。
[答案] (1) (2) (3)mgL
[变式训练]
2．某滑沙场，如图5－2－4所示，某旅游者乘滑沙橇从A点由静止开始滑下，最后停在水平沙面上的C点，设滑沙橇和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面和水平面连接处可认为是圆滑的，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙橇上不动，若测得AC间水平距离为x，A点高为h，求滑沙橇与沙面间的动摩擦因数μ。
图5－2－4
解析：设斜面与水平面所成的夹角为θ，滑沙者和滑沙橇总质量为m，则滑沙者和滑沙橇从A点到最低点，
重力做功WG＝mgh，
摩擦力做功WFf＝－μmgcos θ·
滑沙者在水平面上运动时，只有滑动摩擦力做功
WFf′＝－μmg(x－)。
方法一：“隔离”过程，分段研究，设最低点物体的速度为v，由A点到最低点根据动能定理得：
WG＋WFf＝mv2－0
在水平面上运动时，同理有：
WFf′＝0－mv2，解得：μ＝。
方法二：从A到C全过程由动能定理得：
WG＋WFf＋WFf′＝0
解得μ＝。
答案：
规范答题——利用动能定理求解多运动过程问题
物体在运动过程中若包含几个不同的过程，应优先考虑对全过程运用动能定理，这样可以避开每个运动过程的具体细节，因此比分段运用动能定理求解简单。由于全过程运用动能定理解题时不必考虑中间过程的细节，只需考虑全过程中合外力做功的情况，以及初、末状态的动能，所以对于多过程、往复运动问题，对全过程运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
图5－2－5
[示例] (17分)如图5－2－5所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切 ，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，
①
C点为圆弧轨道最低点，∠COB＝θ，现在质量为m的小物体从距D点高度为的地
②
方无初速度地释放，已知小物体恰能从D点进入圆弧轨道。求：
(1) 为使小物体不会从A点冲出斜面，小物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少？
③
(2)若小物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，则小物体在斜面上通过的总路程为多少？④
(3)小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力和最小压力各是多少？
⑤
[答题流程]
1．审题干，抓关键信息
题干信息
获取信息
①
物体经过B点的瞬间动能无损失
②
物体在每一个单向运动过程中在C点的速度最大
③
物体第一次到达斜面上A点时速度为零
④
物体最终以C点为中心摆动，B点是最高点
⑤
第一次经过C点时压力最大，最终以C点为中心摆动时压力最小
2．审设问，找解题突破口
(1)物体由起始点到达A点，根据动能定理求出摩擦力做的功，从而求出动摩擦因数。
(2)物体的每一次往复运动，都会因摩擦力做功损失一部分机械能，根据动能定理求出摩擦力做的总功，从而进一步求出在斜面上的总路程。
3．巧迁移，调动有效信息
(1)确定研究对象→小物体
(2)受力分析，过程分析→小物体从起点到B点过程中，只有重力做功，在斜面上运动时，重力和摩擦力都做功
(3)运用规律→物体在每一个运动过程中，均可应用动能定理进行求解
4．规范解，条理作答
过程的选取很重要，同时要弄清各力的做功情况。
[解析] (1)为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得mg－μ1mgcos θ＝0(2分)
解得动摩擦因数至少为μ1＝ 。(1分)
(2)分析运动过程可得，最终小物体将在BB′圆弧间做往复运动(B′未画出)，由动能定理得
mg(＋Rcos θ)－μmgxcos θ＝0(2分)
解得小物体在斜面上通过的总路程为
x＝。(1分)
(3)由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，由动能定理得
mg(＋R)＝mv2(2分)
由牛顿第二定律得FNmax－mg＝m(2分)
联立以上两式解得FNmax＝3mg＋mgcos θ(1分)
最终小物体将从B点开始做往复运动，则有
mgR(1－cos θ)＝mv′2(2分)
FNmin－mg＝m(2分)
联立以上两式，解得FNmin＝mg(3－2cos θ)(1分)
由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力F′Nmax＝FNmax＝3mg＋mgcos θ
最小压力F′Nmin＝FNmin＝mg(3－2cos θ)。(1分)
[答案] (1) (2)
(3)3mg＋mgcos θ mg(3－2cos θ)
[名师点评]
动能定理综合应用问题的规范解答：
(1)基本步骤：
①选取研究对象，明确它的运动过程；
②分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
③明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
④列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解。
(2)注意事项：
①动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统。
②动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式。当题目中涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理。
③若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。
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