重力势能与弹性势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能与弹性势能
内 容
重力势能
弹性势能
概 念
物体由于被举高而具有的能
物体由于发生弹性形变而具有的能
大 小
Ep＝mgh
与形变量及劲度系数有关
矢标性
标量
标量
相对性
大小与所选取的参考平面有关
一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点
1．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2。
(3)重力势能的变化是绝对的，与参考面的选取无关。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。
(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。
1．下列关于重力势能的说法正确的是( )
A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的
B．重力势能的大小是相对的
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
解析：选AB 重力势能是由物体和地球的相对位置所决定的，由地球和物体所共有，所以A、B正确；由于重力势能的大小与零势能面的选取有关，所以重力势能等于零不等于没有对外做功的本领，所以C错误；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D错误。
机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒定律表达式
观点
表达式
守恒观点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
转移观点
ΔEA＝－ΔEB
1．对机械能守恒条件的理解
只有重力及系统内的弹力做功，可以从以下三方面理解：
(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。
(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量。
2．对机械能守恒定律三种表达式的理解
(1)守恒观点：
①意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
②注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
(2)转化观点：
①意义：系统(或物体)的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能。
②注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
(3)转移观点：
①意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量。
②注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能。
2.如图5－3－1所示，a、b两小球静止在同一条竖直线上，离地面足够高。b球质量大于a球质量。两球间用一条细线连接，开始线处于松弛状态。现同时释放两球，球运动过程中所受的空气阻力忽略不计。下列说法正确的是( )
图 5－3－1
A．下落过程中两球间的距离保持不变
B．下落后两球间距离逐渐增大，一直到细线张紧为止
C．下落过程中，a、b两球都处于失重状态
D．整个下落过程中，系统的机械能守恒
解析：选ACD 两球同时释放后，均做自由落体运动，加速度均为g，故两球均处于失重状态，机械能守恒，两球间距保持不变，A、C、D均正确，B错误。
机械能是否守恒的判断
[命题分析] 本考点是高考的热点，但单独考查本考点的机率不大，常被作为综合问题中的一个小问题进行考查，难度不大。
[例1] 如图5－3－2所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
图5－3－2
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
[解析] A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。
[答案] BC
[变式训练]
1.如图5－3－3所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中( )
图5－3－3
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能等于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D．M和m组成的系统机械能守恒
解析：选BD M下落过程，绳的拉力对M做负功，M的机械能不守恒，减少，m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误。
单个物体机械能守恒定律的应用
[命题分析] 单个物体的机械能守恒问题在高考中常被考查到，多数情况下，这类问题也可以用动能定理求解，难度一般为中等。
[例2] 如图5－3－4所示，将一质量为m＝0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2)求：
图5－3－4
(1)小球经过C点的速度大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
[解析] (1)恰好运动到C点时，重力提供向心力，
即mg＝m vC＝＝5 m/s
(2)从B点到C点，由机械能守恒定律有
mv＋mg·2R＝mv
在B点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有
FN－mg＝m
联立解得vB＝5 m/s FN＝6.0 N
(3)从A到B由机械能守恒定律有
mv＋mgR(1－cos 53°)＝mv
所以vA＝ m/s
在A点进行速度的分解有，vy＝vAsin 53°
所以H＝＝3.36 m
[答案] (1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m
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分析机械能守恒问题的方法
(1)一般步骤：
①选取研究对象
②分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件。
③确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。
④选择合适的表达式列出方程，进行求解。
⑤对计算结果进行必要的讨论和说明。
(2)应注意的问题：
①列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
②应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
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[变式训练]
2．山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜坡，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图5－3－5所示，AB竖直高度差h＝8.8 m，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
图5－3－5
(1)运动员到达C点的速度大小；
(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小。
解析：(1)由A→C过程，应用机械能守恒定律得：
mg(h＋Δh)＝mv
又Δh＝R(1－cos 37°)，
可解得：
vC＝14 m/s
(2)在C点，由牛顿第二定律得：
FC－mg＝m
解得：FC＝3 936 N。
由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N
答案：(1)14 m/s (2)3 936 N
多物体系统机械能守恒定律的应用
[命题分析] 本考点属于高考中的重要考点，在历年高考中常被考查到，题型有选择和计算等，难度中等偏上，有时也会在压轴题中被考查到。
[例3] 有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为53°，杆上套着一个质量为m＝2 kg的滑块(可视为质点)。
图5－3－6
(1)如图5－3－6甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移x＝1 m后到达P点，求滑块此时的速率。
(2)如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M＝2.7 kg的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度L＝ m(如图乙所示)。再次将滑块从O点由静止释放，求滑块滑至P点的速度大小。(整个运动过程中M不会触地，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2)
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)光滑直杆
不悬挂M时滑块m的机械能守恒
(2)细绳因悬挂M而绷紧
M和m组成的系统机械能守恒
第二步：找解题突破口
(1)不悬挂M时，滑块到达P点的速度可根据机械能守恒定律直接求出。
(2)悬挂M后，对系统而言只有重力做功，机械能守恒，结合运动的合成与分解可求出滑块到达P点的速度。
第三步：条理作答
[解析] (1)设滑块下滑至P点时的速度为v1，
由机械能守恒定律得
mgxsin 53°＝mv
解得v1＝4 m/s
(2)设滑块再次滑到P点时速度为v2，M的速度为vM，如图，将v2进行分解得：vM＝v2cos θ，绳与直杆的夹角为θ，由几何关系得θ＝90°，vM＝0，再由系统机械能守恒定律得：
MgL(1－sin 53°)＋mgxsin 53°＝mv＋0，
解得v2＝5 m/s
[答案] (1)4 m/s (2)5 m/s
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[变式训练]
3.如图5－3－7所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
图5－3－7
解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。
若取B的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL＝mv＋mv＋mgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上二式得：vA＝，vB＝。
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。
对A有：WA＋mg＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL。
对B有：WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL。
答案：－0.2mgL 0.2mgL
万能模型——用机械能守恒定律解决“非质点”模型问题
重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解。这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。
[示例] 两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图5－3－8所示。已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力，当两桶水面第一次高度相等时，液面的速度为多大？(连接两桶的阀门之间水质量不计)
图5－3－8
[解析] 对于容器中的液体，运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，第一次液面高度相等时，重力势能的减少量等于动能的增加量。
容器中水的总质量为：m＝ρS(h1＋h2)；水面相平时，相当于质量为m′＝ρS的液体下降了，所以由机械能守恒定律可得，减少的重力势能：ΔEp＝ΔEk，
即：ρgS×＝ρS(h1＋h2)v2，
解得：v＝(h1－h2) 。
[答案] v＝(h1－h2)
[模型构建] 利用等效法计算势能变化时一定要注意等效部分的质量关系，即根据物体的相对位置关系将物体分成若干段，在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。即在解决涉及重力势能变化的问题时，物体的位置变化要以重心位置变化为准。
[变式训练]
如图5－3－9所示，长为l的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，某一微小的扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为( )
图5－3－9
A. B.
C. D.
解析：选C 设铁链的总的质量为m，以铁链的下端为零势能点，则铁链的机械能为：E＝2×mg＝mgl，铁链完全离开滑轮时，速度为v，则机械能E′＝mv，由机械能守恒定律得E＝E′，所以v＝ ，选项C对。
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