2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )
A．物体的末速度一定与时间成正比
B．物体的位移一定与时间的平方成正比
C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小
解析：选C.根据位移公式和速度公式可知，A、B两项错．由加速度定义得Δv＝at，即Δv∝t，所以C项对．匀加速直线运动中v、x随时间增加，但在匀减速直线运动中，v在减小，x在增加，所以D项错．
2．(2011年绍兴高一检测)做匀加速直线运动的质点，运动了时间t，下列说法中正确的是( )
A．它的初速度越大，通过的位移一定越大
B．它的加速度越大，通过的位移一定越大
C．它的末速度越大，通过的位移一定越大
D．它的平均速度越大，通过的位移一定越大
解析：选D.根据公式x＝v0t＋at2，位移x由v0、a、t共同决定，所以选项A、B、C错；又由x＝·t得t相同时， 越大，则x越大，选项D对．
3．由静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内的位移为2 m．关于该物体的运动情况，以下说法正确的是( )
A．第1 s内的平均速度为2 m/s
B．第1 s末的瞬时速度为2 m/s
C．第2 s内的位移为4 m
D．运动过程中的加速度为4 m/s2
解析：选AD.由＝＝ m/s＝2 m/s知，A对；由公式＝知，第1 s末的瞬时速度v＝2－v0＝2×2 m/s－0＝4 m/s，B错误；由初速度为零的匀加速直线运动的位移公式x＝at2，得加速度a＝＝＝4 m/s2，D正确；进一步可求得第2 s内的位移x2＝ at－at＝×4 m/s2×(2 s)2－×4 m/s2×(1 s)2＝8 m－2 m＝6 m，所以C错误．
4．(2011年宁波高一检测)某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体的速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A．1.25 s B．2.5 s
C．3 s D．6 s
解析：选A.由x＝v0t＋at2对比x＝0.5t＋t2，
求出v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，又v＝v0＋at
求出t＝1.25 s.
5．(2011年襄樊高一检测)一个质点从静止开始做匀加速直线运动，已知它在第4 s内的位移是14 m．求：
(1)质点运动的加速度；
(2)它前进72 m所用的时间．
解析：(1)由x＝at2得：
Δx＝x4－x3＝a(t－t)
∴a＝＝ m/s2＝4 m/s2.
(2)由x＝at2得
t＝ ＝ s＝6 s.
答案：(1)4 m/s2 (2)6 s
一、选择题
1．下列图象表示匀变速直线运动的是( )
图2－3－9
答案：ABD
2．一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它的速度为零的时刻是( )
A.s B．6 s
C．2 s D．24 s
解析：选C.由x＝24t－6t2得v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，则t＝＝ s＝2 s，C正确．
3．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为( )
A.vt B.vt
C.vt D.vt
解析：选B.匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间初、末速度的平均值，由题意知，汽车在加速和减速两过程的平均速度均为，故全程的位移x＝vt，B项正确．
4．一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图象如图2－3－10所示，那么0～t和t～3t两段时间内( )
图2－3－10
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
解析：选BD.由a＝求得：a1：a2＝2∶1，故A错；由位移之比等于两个三角形面积之比得：x1：x2＝1∶2，故B对；由＝得：1∶2＝1∶1，故C错D对．
5.某物体做直线运动，物体的速度—时间图线如图2－3－11所示，若初速度的大小为v0，末速度的大小为v，则在时间t1内物体的平均速度是( )
图2－3－11
A．等于(v0＋v)/2
B．小于(v0＋v)/2
C．大于(v0＋v)/2
D．条件不足，无法比较
解析：选C.
若物体做初速度为v0，末速度为v的匀变速直线运动时，在时间0～t1内的位移为图中阴影部分的面积，即x＝(v0＋v)t1，其平均速度为＝＝，但物体实际的v－t图象中图线与时间轴包围的面积大于阴影部分的面积，所以平均速度应大于，故A、B、D均错，C正确．
6．(2011年广州质检)一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，则刹车2 s内与刹车6 s内的位移之比为( )
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
解析：选B.汽车刹车后最终静止，应先求汽车运动的最长时间，由v＝v0＋at，得t＝＝ s＝4 s，即刹车后汽车运动4 s,6 s内的位移即4 s内的位移．因为x2＝v0t1＋at＝[20×2＋×(－5)×22]m＝30 m，x4＝x6＝[20×4＋×(－5)×16]m＝40 m，所以x2∶x6＝3∶4.
7．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过的位移所用的时间为( )
A. B.
C. D.t
解析：选B.由x＝at2和＝at′得：
t′＝，故B对．
8．(2011年南京高一检测)质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5 s内三段位移比为( )
A．2∶6∶5 B．2∶8∶7
C．4∶12∶9 D．2∶2∶1
解析：选C.由位移公式x＝at2得第1个2 s内的位移x1＝at＝a×22＝2a.第2 个2 s内的位移x2＝a(t－t)＝a(42－22)＝6a，第5 s内的位移x3＝a(52－42)＝a，故x1∶x2∶x3＝2a∶6a∶a＝4∶12∶9，因此选C.
9．一个以v0＝5 m/s的初速度做直线运动的物体，自始至终有一个与初速度方向相反、大小为2 m/s2的加速度，则当物体位移大小为6 m时，物体已运动的时间可能为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．6 s
解析：选BCD.当位移方向与v0同向时，
由x＝v0t＋at2得：
5t＋(－2)t2＝6
解得：t1＝2 s，t2＝3 s
当位移与v0反向时，
5t＋(－2)t2＝－6
解得：t3＝6 s
故BCD正确．
二、计算题
10．(2011年瑞安高一检测)一物体从斜坡顶端由静止开始匀加速下滑，下滑的加速度大小为2 m/s2，若滑到底最后2 s内下滑的距离为斜坡长度的，求斜坡长是多少？
解析：设斜坡长为L，下滑时间为t，
则由位移公式x＝at2
得：L＝a(t－2)2①
对整个过程L＝at2②
解①②式得L＝16 m.
答案：16 m
11．做匀加速直线运动的物体，从某时刻起，在第3 s内和第4 s内的位移分别是21 m和27 m，求加速度和“开始计时”时的速度．
解析：x1＝21 m，x2＝27 m，T＝1 s
据x2－x1＝aT2得
a＝＝m/s2＝6 m/s2
物体在3 s末的速度
v＝＝m/s＝24 m/s
所以物体的初速度
v0＝v－at＝24 m/s－6 m/s2×3 s＝6 m/s.
答案：6 m/s2 6 m/s
12．矿井里的升降机从静止开始做匀加速运动，经过3 s，它的速度达到3 m/s；然后做匀速运动，经过6 s；再做匀减速运动，3 s后停止．求升降机上升的高度，并画出它的速度图象．
解析：升降机在匀加速运动阶段上升的高度
h1＝t1＝×3 m＝4.5 m
在匀速运动阶段上升的高度
h2＝vt2＝3×6 m＝18 m
在匀减速运动阶段上升的高度
h3＝t3＝×3 m＝4.5 m
所以，升降机上升的总高度
h＝h1＋h2＋h3＝4.5 m＋18 m＋4.5 m＝27 m.
它的速度图象如图所示．
答案：27 m 速度图象见解析图
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