第三讲 机械能守恒定律
一、单项选择题
1.如图所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道最低点．现让小滑块(可视为质点)从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是( )
A．若v0≠0，小滑块一定能通过C点，且离开C点后做自由落体运动
B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动
C．若v0＝，小滑块能到达C点，且离开C点后做自由落体运动
D．若v0>，小滑块能到达C点，且离开C点后做平抛运动
解析 滑块要刚好能通过最高点C，最小速度满足mg＝，v＝，离开C后做平抛运动，由机械能守恒定律，可知D正确．
答案 D
2．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高处h处，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于( )
A. B.
C. D.
解析 根据动能定理分别对以下三个过程列方程：小球从抛出到上升到最大高度的过程中，(mg＋f)H＝mv；小球从抛出到上升h的过程中，(mg＋f)h＝mv－mv＝mv－2mgh；小球从最高点落回到h的过程中，(mg－f)(H－h)＝mv＝mgh，由以上三式可解得h＝，D项正确．
答案 D
3.
如图所示，轻弹簧下端固定在地面上，压缩弹簧之后用细线绑定拴牢．将一个金属球放置在弹簧顶端(球与弹簧不粘连，放上金属球之后细线仍是绷紧的)，某时刻烧断细线，球将被弹起，脱离弹簧后能继续向上运动，那么该球从细线被烧断到金属球刚脱离弹簧的这一运动过程中( )
A．球所受的合力先增大后减小
B．球的动能减小而它的机械能增加
C．球刚脱离弹簧时的动能最大
D．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小
解析 因为烧断线后小球向上运动，说明烧断线瞬间弹力大于重力，小球受到的合力向上，随着小球向上运动，弹簧形变减小，弹力减小，小球受的合力先减小，A错；当弹簧形变产生的弹力与小球重力大小相等时，小球受的合力为零，小球速度达到最大，动能最大，B、C错；此后小球继续上升，小球受的合力变为竖直向下，小球减速，这个过程中，除重力做功外，还有弹力做功，弹力做正功，所以小球的机械能增加，球刚脱离弹簧时弹簧的弹性形变消失，弹性势能最小，故D正确．
答案 D
4.如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体最后能与传送带保持相对静止．对于物体从开始释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法正确的是( )
A．电动机多做的功为mv2
B．摩擦力对物体做的功为mv2
C．传送带克服摩擦力做的功为mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
解析 由能量守恒，电动机多做的功等于物体获得的动能和由于摩擦而产生的热量，故A错；对物体受力分析知，仅有摩擦力对物体做功，由动能定理知，B错；传送带克服摩擦力做的功等于物体对传送带的摩擦力的大小与传送带对地位移的大小的乘积，易知这个位移是物体对地位移的两倍，即W＝mv2，故C错；由功率公式易知电动机增加的功率为μmgv，故D对．
答案 D
5.如图所示，水平面上的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上的P点，已知物体的质量为m＝2.0 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，弹簧的劲度系数k＝200 N/m.现用力F拉物体，使弹簧从处于自然状态的O点，由静止开始缓慢向左移动10 cm，这时弹簧具有弹性势能Ep＝1.0 J，物体处于静止状态．若取g＝10m/s2，则撤去外力F后( )
A．物体向右滑动的距离可以达到12.5 cm
B．物体向右滑动的距离一定小于12.5 cm
C．物体回到O点时速度最大
D．物体到达最右端时动能为零，系统机械能也为零
解析 当物体向右运动至O点过程中，弹簧的弹力向右．由牛顿第二定律可知，kx－μmg＝ma(x为弹簧的伸长量)，当a＝0时，物体速度最大，此时kx＝μmg，弹簧仍处于伸长状态，故C错误；当物体至O点时，由Ep－μmg×0.1＝mv2可知，物体至O点的速度不为零，将继续向右压缩弹簧，由能量守恒可得Ep＝μmgx′＋E′p，因E′p>0，所以x′<12.5 cm，A错误，B正确；物体到达最右端时，动能为零，但弹簧具有弹性势能，故系统的机械能不为零，D错误．
答案 B
6.如图所示，质量为M、长度为l的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在木板的最左端．现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和木板之间的滑动摩擦力为f，物块滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．恒力所做的功为fl
B．物块到达木板最右端时，木板具有的动能为fl
C．物块和木板增加的机械能为(F－f)l＋Fx
D．只要F>f，就可以把物块从木板上拉下来
解析 在功的定义中，位移应为对地位移，所以A选项错误；根据动能定理，摩擦力对木板做的功fx即为木板的末动能，所以B选项错误；重力以外的力所做的总功即为机械能的增量，所以C选项正确；要发生相对滑动，则物块的加速度要大于木板的加速度，即>，D错误．
答案 C
二、多项选择题
7．从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H，设上升过程中空气阻力f恒定．对于小球从抛出到上升至最高处的过程，下列说法正确的是( )
A．小球的动能减少了mgH
B．小球的机械能减少了fH
C．小球的重力势能增加了mgH
D．小球的加速度大于重力加速度g
解析 物体克服重力做功mgH，小球的重力势能增加了mgH，选项C正确；小球合外力大小为(mg＋f)，选项D正确；合外力做功为－(mg＋f)H，由动能定理，得小球动能减少了(mg＋f)H，选项A错误；除重力以外的其他力(空气阻力)做功为－fH，机械能减少了fH，选项B正确．
答案 BCD
8.如图所示，质量为m的滑块从斜面底端以平行于斜面的初速度v0冲上固定斜面，沿斜面上升的最大高度为H.已知斜面倾角为α，斜面与滑块间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，取斜面底端为零势能面，则能表示滑块在斜面上运动的机械能E、动能Ek与高度h之间关系的图像是( )
答案 BD
9.如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架．在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右摆回时，A球能回到起始高度
解析 因A处小球质量大，处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D选项也正确；A球到达最低点时，若设支架边长是L，A球下落的高度便是L，有mg(L)的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错；当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，C选项正确．
答案 BCD
10．如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了mgl
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
解析 物块向下运动过程中，绳子拉力对物块做负功，物块的机械能减少，A项错误；软绳重心下降的高度为－sinθ＝l，软绳的重力势能减少mgl，B项正确；由能的转化和守恒知，物块和软绳重力势能的减少等于物块和软绳增加的动能和软绳克服摩擦力所做的功，C项错误；对于软绳，由能的转化和守恒知，绳子拉力对软绳所做的功和软绳重力势能的减少之和等于软绳动能的增加与克服摩擦力所做功之和，D项正确．
答案 BD
三、非选择题
11．如图，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面上，C、D、E在同一竖直线上，D点距水平面的高度为h，C点的高度为2h，一滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出．
(1)求滑块落到水平面时，落点与E点间的距离sC和sD；
(2)为实现sC0 所以v>4gh
因此为保证sC
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