能力演练
一、选择题(10×4分)
1．如图所示，A、B是两个长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，A和B以相同的速度在水平地面C上做匀速直线运动(空气阻力不计)．由此可知，A、B间的动摩擦因数μ1和B、C间的动摩擦因数μ2有可能是( )
A．μ1＝0，μ2＝0 B．μ1＝0，μ2≠0
C．μ1≠0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
【解析】本题中选A、B整体为研究对象，由于A、B在推力F的作用下做匀速直线运动，可知地面对B的摩擦力一定水平向左，故μ2≠0；对A进行受力分析可知，水平方向不受力，μ1可能为零，故正确答案为BD．
[答案] BD
2．如图所示，从倾角为θ、高h＝1.8 m的斜面顶端A处水平抛出一石子，石子刚好落在这个斜面底端的B点处．石子抛出后，经时间t距斜面最远，则时间t的大小为(取g＝10 m/s2)( )
A．0.1 s B．0.2 s C．0.3 s D．0.6 s
【解析】由题意知，石子下落的时间t0＝＝0.6 s
又因为水平位移x＝hcot θ
故石子平抛的水平初速度v0＝＝
当石子的速度方向与斜面平行时，石子距斜面最远
即＝tan θ
解得：t＝＝0.3 s．
[答案] C
3．在轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着上端的小球站在3楼的阳台上，放手后让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为T．如果站在4楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将( )
A．不变 B．增大 C．减小 D．无法判断
【解析】两小球都做自由落体运动，可在同一v－t图象中作出速度随时间变化的关系曲线，如图所示．设人在3楼的阳台上释放小球后，两球落地的时间差为Δt1，图中阴影部分的面积为Δh；若人在4楼的阳台上释放小球后，两球落地的时间差为Δt2，要保证阴影部分的面积也是Δh，从图中可以看出一定有Δt2＜Δt1．
[答案] C
4．如图甲所示，小球静止在小车中的光滑斜面A和光滑竖直挡板B之间，原来小车向左匀速运动．现在小车改为向左减速运动，那么关于斜面对小球的弹力NA的大小和挡板B对小球的弹力NB的大小，以下说法正确的是( )
甲
A．NA不变，NB减小 B．NA增大，NB不变
C．NB有可能增大 D．NA可能为零
【解析】小球的受力情况如图乙所示，有：
乙
NAcos θ＝mg
NAsin θ－NB＝ma
故NA不变，NB减小．
[答案] A
5．小球从空中自由下落，与水平地面第一次相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，则( )
A．小球第一次反弹后的速度大小为3 m/s
B．小球碰撞时速度的改变量为2 m/s
C．小球是从5 m高处自由下落的
D．小球反弹起的最大高度为0.45 m
【解析】第一次反弹后的速度为－3 m/s，负号表示方向向上，A正确．碰撞时速度的改变量Δv＝－8 m/s，B错误．下落的高度h1＝×5×0.5 m＝1.25 m，反弹的高度h2＝×3×0.3＝0.45 m，D正确．
[答案] AD
6．如图甲所示，四个质量、形状相同的斜面体放在粗糙的水平面上，将四个质量相同的物块放在斜面顶端，因物块与斜面的摩擦力不同，四个物块运动情况不同．A物块放上后匀加速下滑，B物块获一初速度后匀速下滑，C物块获一初速度后匀减速下滑，D物块放上后静止在斜面上．若在上述四种情况下斜面体均保持静止且对地面的压力依次为F1、F2、F3、F4，则它们的大小关系是( )
甲
A．F1＝F2＝F3＝F4 B．F1＞F2＞F3＞F4
C．F1＜F2＝F4＜F3 D．F1＝F3＜F2＜F4
【解析】斜面的受力情况如乙图所示，其中，f1、N分别为斜面对物块的摩擦力和支持力的反作用力
乙
N＝mgcos θ
f2可能向左，也可能向右或为零．
a图中，f1＜mgsin θ，故
F＝Mg＋mgcos θ·cos θ＋f1sin θ＜(M＋m)g
b图中，f1＝mgsin θ，故F＝Mg＋mgcos θ·cos θ＋f1sin θ＝(M＋m)g
c图中，f1＞mgsin θ，故F＝Mg＋mgcos θ·cos θ＋f1sin θ＞(M＋m)g
d图中，f1＝mgsin θ，故F＝(M＋m)g．
[答案] C
7．把一钢球系在一根弹性绳的一端，绳的另一端固定在天花板上，先把钢球托起(如图所示)，然后放手．若弹性绳的伸长始终在弹性限度内，关于钢球的加速度a、速度v随时间t变化的图象，下列说法正确的是( )
A．甲为a－t图象 B．乙为a－t图象
C．丙为v－t图象 D．丁为v－t图象
【解析】由题图可知，弹性绳处于松弛状态下降时钢球做自由落体运动，绷紧后小球做简谐运动；当小球上升至绳再次松弛时做竖直上抛运动，故v～t图象为图甲，a～t图象为图乙．
[答案] B
8．如图所示，足够长的水平传送带以速度v沿顺时针方向运动，传送带的右端与光滑曲面的底部平滑连接，曲面上的A点距离底部的高度h＝0.45 m．一小物块从A点静止滑下，再滑上传送带，经过一段时间又返回曲面．g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．若v＝1 m/s，则小物块能回到A点
B．若v＝2 m/s，则小物块能回到A点
C．若v＝5 m/s，则小物块能回到A点
D．无论v等于多少，小物块均能回到A点
【解析】小物块滑上传送带的初速度v0＝＝3 m/s
当传送带的速度v≥3 m/s时，小物块返回曲面的初速度都等于3 m/s，恰好能回到A点，当传送带的传送速度v＜3 m/s 时，小物块返回曲面的初速度等于v，不能回到A点．
[答案] C
9．如图甲所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带左端的距离为L．当传送带分别以v1、v2的速度逆时针转动(v1＜v2)，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F1，F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2，则下列说法正确的是( )
甲
A．F1＜F2 B．F1＝F2
C．t1一定大于t2 D．t1可能等于t2
【解析】绳剪断前物体的受力情况如图乙所示，由平衡条件得：FN＋Fsin θ＝mg
乙
f＝μFN＝Fcos θ
解得：F＝，F的大小与传送带的速度无关绳剪断后m在两速度的传送带上的加速度相同
若L≤，则两次都是匀加速到达左端，t1＝t2
若L＞，则物体在传送带上先加速再匀速到达左端，在速度小的传送带上需要的时间更长，t1＞t2．
[答案] BD
10．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图甲所示．图中虚线表示这个静电场在xOy平面内的一族等势线，等势线形状关于Ox轴、Oy轴对称．等势线的电势沿x轴正方向增加，且相邻两等势线的电势差相等．一个电子经过P点(其横坐标为－x0)时，速度与Ox轴平行，适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox轴上方运动．在通过电场区域过程中，该电子沿y轴方向的分速度vy随位置坐标x变化的示意图是图乙中的( )
甲
乙
【解析】在x轴负方向，电子所受的电场力向右偏下，则电子的竖直分速度沿y轴负方向不断增加，到达x＝0时竖直分速度最大，到达x轴正方向后，电子所受的电场力向右偏上，则其竖直分速度沿y轴负方向不断减小；又由于在x轴负方向的电子运动处的电场线比在x轴正方向电子运动处的电场线密，相应的电子的加速度大，故电子在x轴正方向经过与x轴负方向相同的水平距离时，y轴方向的分速度不能减为零，D正确．
[答案] D
二、非选择题(共60分)
11．(6分)在某次实验中得到小车做直线运动的s－t关系如图所示．
(1)由图可以确定，小车在AC段和DE段的运动分别为( )
A．AC段是匀加速运动，DE段是匀速运动
B．AC段是加速运动，DE段是匀加速运动
C．AC段是加速运动；DE段是匀速运动
D．AC段是匀加速运动；DE段是匀加速运动
(2)在与AB、AC、AD对应的平均速度中，最接近小车在A点的瞬时速度是________段中的平均速度．
[答案] (1)C (2)AB (每空3分)
12．(9分)当物体从高空下落时，其所受阻力会随物体速度的增大而增大，因此物体下落一段距离后将保持匀速运动状态，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据．
小球编号
A
B
C
D
E
小球的半径(×10－3 m)
0.5
0.5
1.5
2
2.5
小球的质量(×10－6 kg)
2
5
45
40
100
小球的收尾速度(m/s)
16
40
40
20
32
(1)根据表中的数据，求出B球与C球达到收尾速度时所受的阻力之比．
(2)根据表中的数据，归纳出球形物体所受的阻力f与球的速度大小及球的半径之间的关系．(写出有关表达式，并求出比例系数，重力加速度g取9.8 m/s2)
(3)现将C球和D球用轻质细线连接，若它们在下落时所受的阻力与单独下落时的规律相同，让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度，并判断它们落地的顺序(不需要写出判断理由)．
【解析】(1)球在达到收尾速度时处于平衡状态，有：
f＝mg
则fB∶fC ＝mB ∶mC
代入数据解得：fB∶fC＝1∶9．
(2)由表中A、B两球的有关数据可得，阻力与速度成正比，即f∝v
由表中B、C两球的有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r2
得：f＝kvr2
其中k＝4.9 N·s/m3．
(3)将C球和D球用细线连接后，应满足：
mCg＋mDg＝fC ＋fD
即mCg＋mDg＝kv(r＋r)
代入数据解得：v＝27.2 m/s
比较C、D两小球的质量和半径，可判断出C球先落地．
[答案] (1)1∶9 (3分)
(2)f＝kvr2，k＝4.9 N·s/m3 (3分)
(3)27.2 m/s C球先落地 (3分)
13．(10分)将一平板支撑成一斜面，一石块可以沿着斜面往不同的方向滑行，如图所示．如果使石块具有初速度v，方向沿斜面向下，那么它将做匀减速运动，经过距离L1后停下来；如果使石块具有同样大小的速度，但方向沿斜面向上，它将向上运动距离L2后停下来．现在平板上沿水平方向钉一光滑木条(图中MN所示)，木条的侧边与斜面垂直．如果使石块在水平方向以与前两种情况同样大小的初速度紧贴着光滑木条运动，求石块在水平方向通过的距离L．
【解析】设斜面的倾斜角为θ，石块与斜面间的动摩擦因数为μ，故石块沿斜面减速下滑时的加速度为：
a1＝μgcos θ－gsin θ (2分)
沿斜面减速上滑时的加速度a2＝μgcos θ＋gsin θ
(2分)
紧贴光滑木条水平运动时的加速度a3＝μgcos θ
(2分)
由题意可得：
v2＝2a1L1
v2＝2a2L2
v2＝2a3L (3分)
解得：L＝． (1分)
[答案]
14．(10分)如图所示，一固定的斜面倾角为30°，一边与地面垂直，顶上有一定滑轮．一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m．开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升．物块A与斜面间无摩擦．当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度．(不计细线与滑轮之间的摩擦)
【解析】设细线断前物块的加速度大小为a，细线的张力为T，由牛顿第二定律得：
4mgsin 30°－T＝4ma (2分)
T－mg＝ma (2分)
解得：a＝g (1分)
故线断瞬间B的速度大小vB＝＝ (2分)
线断后B再上升的最大高度h＝＝s (1分)
物块B上升的最大高度h总＝s＋h＝s． (2分)
[答案] s
15．(12分)在光滑的绝缘水平面上有一质量m＝1.0×10－3 kg、电荷量q＝＋1.0×10－10 C的带电小球静止在O点，以O点为原点在该水平面内建立直角坐标系xOy(如图所示)．现突然加一个沿x轴正方向、场强大小E＝2.0×106 V/m的匀强电场使小球运动，并开始计时．在第1 s末所加电场方向突然变为沿y轴正方向，大小不变；在第2 s末电场突然消失，求第3 s末小球的位置．
一位同学这样分析：第1 s内小球沿x轴做初速度为零的匀加速直线运动，可求出其位移x1；第2 s内小球沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，可求出其位移y2及其速度v，第3 s内小球沿y轴正方向做匀速直线运动，可求出其位移s，最后小球的横坐标是x1，纵坐标是y2＋s．
你认为他的分析正确吗？如果认为正确，请按他的思路求出第3 s末小球的位置；如果认为不正确，请指出错误之处并求出第3 s末小球的位置．
【解析】该同学的分析不正确．因为第1 s末小球有沿x方向的初速度，所以第2 s内小球做类平抛运动，第3 s内也不沿y轴正方向运动． (3分)
第1 s内小球做初速度为零的匀加速直线运动，有：
a1x＝＝ (1分)
x1＝a1xt＝
＝ m＝0.1 m (1分)
v1x＝a1xt1＝
第2 s内小球做类平抛运动，有：
a2y＝ (1分)
y2＝a2yt＝
＝ m＝0.1 m (1分)
v2y＝a2t2＝
x2＝v1xt2＝
＝ m＝0.2 m (1分)
第3 s内小球做匀速直线运动，沿x方向速度为v1x，沿y方向速度为v2y，有：
x3＝v1xt3＝
＝ m＝0.2 m (1分)
y3＝v2yt3＝
＝ m＝0.2 m (1分)
第3 s末小球的位置坐标为：
x＝x1＋x2＋x3＝0.5 m (1分)
y＝y2＋y3＝0.3 m． (1分)
[答案] 略
16．(13分)如图所示，长L＝1.5 m、高h＝0.45 m、质量M＝10 kg的长方体木箱在水平面上向右做直线运动．当木箱的速度v0＝3.6 m/s时，对木箱施加一个方向水平向左的恒力F＝50 N，并同时将一个质量m＝1 kg的小球轻放在距木箱右端处的P点(小球可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零)，经过一段时间，小球脱离木箱落到地面．已知木箱与地面的动摩擦因数μ＝0.2，而小球与木箱之间的摩擦不计．取g＝10 m/s2，求：
(1)小球从开始离开木箱至落到地面所用的时间．
(2)小球放上P点后，木箱向右运动的最大位移．
(3)小球离开木箱时木箱的速度．
【解析】(1)小球离开木箱后做自由落体运动，设其落到地面所用的时间为t，由h＝gt2得：
t＝＝ s＝0.3 s． (2分)
(2)小球放上木箱后相对地面静止
由F＋μFN＝Ma1 (1分)
FN＝(M＋m)g (1分)
得木箱的加速度：
a1＝＝ m/s2
＝7.2 m/s2 (2分)
木箱向右运动的最大位移s1＝＝ m＝0.9 m．
(1分)
(3)由于s1＝0.9 m＜1 m，故木箱在向右运动期间，小球不会从木箱的左端掉下 (1分)
得木箱向左运动的加速度：
a2＝＝ m/s2
＝2.8 m/s2 (2分)
设木箱向左运动s2时，小球从木箱的右端掉下，有：
s2＝s1＋＝0.9 m＋0.5 m＝1.4 m (1分)
设木箱向左运动所用的时间为t2，则由s2＝a2t得：
t2＝＝ s＝1 s (1分)
小球刚离开木箱时木箱的速度方向向左，大小为：
v2＝a2t2＝2.8×1 m/s＝2.8 m/s． (1分)
[答案] (1)0.3 s (2)0.9 m (3)2.8 m/s
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