第课时 圆周运动的基本规律及应用
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知识点
题号
1.圆周运动的运动学问题
1、8
2.圆周运动的动力学问题
2、3、4、6、7、10
3.圆周运动的临界、极值问题
5、12
4.圆周运动与其他运动的综合
9、11
1~7题为单选题;8~10题为多选题
1.如图所示是一个玩具陀螺.A、B和C是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,下列表述正确的是( B )
A.A、B和C三点的线速度大小相等
B.A、B和C三点的角速度相等
C.A、B的角速度比C的大
D.C的线速度比A、B的大
解析:A、B和C均是同一陀螺上的点,它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω,选项B正确、C错误.三点的运动半径关系rA=rB>rC,据v=ωr可知,三点的线速度关系vA=vB>vC,选项A、D错.
2.摩托车比赛转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动.对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是( B )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析:摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,选项A错误;摩托车转弯时可看做是匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明提供的向心力即合力小于需要的向心力,选项B正确;摩托车将在线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动,选项C、D错误.
3.(2012德州模拟)如图所示,一光滑轻杆沿水平方向放置,左端O处连接在竖直的转动轴上,a、b为两个可视为质点的小球,穿在杆上,并用细线分别连接Oa和ab,且Oa=ab,已知b球质量为a球质量的3倍.当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时,Oa和ab两线的拉力之比为( D )
A.1∶3 B.1∶6 C.4∶3 D.7∶6
解析:由牛顿第二定律,对a球:FO a-Fab=mω2lO a
对b球:Fab=3mω2(lOa+lab),由以上两式得,Oa和ab两线的拉力之比为7∶6,选项D正确.
4.(2011年安徽卷)一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.如图(甲)所示,曲线上A点的曲率圆定义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫做A点的曲率圆,其半径ρ叫做A点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图(乙)所示.则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( C )
A. B. C. D.
解析:根据运动的分解,物体斜抛到最高点P的速度vP=v0cos α;在最高点P,物体所受重力提供向心力,根据牛顿第二定律mg=,解得ρ=.故选项C正确.
本题涉及到曲率圆、曲率半径,此规律可以拓展到地球卫星椭圆运动中的近地点和远地点两个特殊位置,在这两个位置万有引力提供向心力,而其他位置则不是.
5.(2012蚌埠模拟)如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8 m的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2 kg的小球,小球沿斜面做圆周运动,若要小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度是( C )
A.2 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
解析:小球通过最高点的最小速度为vA==2 m/s,由最高点到最低点根据机械能守恒定律得m=m+mg2Lsin α,解得vB=2 m/s,故选项C正确.
本题中小球运动在最高点有最小速度,类似于竖直平面内的非匀速圆周运动.
6.如图所示,OO'为竖直轴,MN为固定在OO'上的水平光滑杆,有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上,AC和BC为抗拉能力相同的两根细线,C端固定在转轴OO'上.当绳拉直时,A、B两球转动半径之比恒为2∶1,当转轴的角速度逐渐增大时( A )
A.AC先断 B.BC先断
C.两线同时断 D.不能确定哪根线先断
解析:对A球进行受力分析,A球受重力、支持力、拉力FA三个力作用,拉力的分力提供A球做圆周运动的向心力,得
水平方向FAcos α=mrAω2,
同理,对B球FBcos β=mrBω2,
由几何关系,可知cos α=,cos β=.
所以===.
由于AC>BC,所以FA>FB,所以当转轴角速度逐渐增大时,绳AC先断.
7.(2012铜陵模拟)如图所示,螺旋形光滑轨道竖直放置,P、Q为对应的轨道最高点,一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道,且能过轨道最高点P,则下列说法中正确的是( B )
A.轨道对小球做正功,小球的线速度vP>vQ
B.轨道对小球不做功,小球的角速度ωP<ωQ
C.小球的向心加速度aP>aQ
D.轨道对小球的压力FP>FQ
解析:轨道对小球的支持力始终与小球运动方向垂直,轨道对小球不做功;小球从P运动到Q的过程中,重力做正功,动能增大,可判断vPrQ可知,ωP<ωQ,选项A错误、选项B正确;再利用向心加速度a=v2/r,vPrQ,可知aPFP,选项D错误.
8.如图为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n1,转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是( BC )
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为n1 D.从动轮的转速为n1
解析:皮带连接着两轮的转动,从主动轮开始顺时针转动沿着皮带到从动轮,可知从动轮是逆时针转动,则选项A错误,B正确.两轮转速之比满足=(线速度相等)则n2=n1,选项C正确,选项D错误.
同一圆盘上共轴转动的各点角速度相同,由皮带、齿轮、链条传动的边缘线速度相同.
9.甲、乙两名溜冰运动员,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动.已知M甲=80 kg,M乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为96 N,下列判断中正确的是( BD )
A.两人的线速度相同,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为2 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
解析:两人旋转一周的时间相同,故两人的角速度相同,两人做圆周运动所需的向心力相同,由F=mω2r可知,旋转半径满足r甲∶r乙=M乙∶M甲=1∶2,又r甲+r乙=0.9 m,则r甲=0.3 m,r乙=0.6 m.两人角速度相同,则v甲∶v乙=1∶2.由F=M甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故选项B、D正确.
10.如图所示,放置在水平地面上的支架质量为M,支架顶端用细绳拴着的摆球质量为m,现将摆球拉至水平位置,而后释放,摆球运动过程中,支架始终不动,以下说法正确的是( BD )
A.在释放前的瞬间,支架对地面的压力为(m+M)g
B.在释放前的瞬间,支架对地面的压力为Mg
C.摆球到达最低点时,支架对地面的压力为(m+M)g
D.摆球到达最低点时,支架对地面的压力为(3m+M)g
解析:在释放前的瞬间绳拉力为零,对M,N1=Mg;
当摆球运动到最低点时,由机械能守恒得mgR=①
由牛顿第二定律得T-mg=②
由①②得绳对小球的拉力T=3mg
对支架M由受力平衡,地面支持力N=Mg+3mg
由牛顿第三定律知,支架对地面的压力N2=3mg+Mg,故选项B、D正确.
11. (2013德阳市一诊)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动,一滑
雪道ABC的底部是一段半径为R的圆弧,圆弧的末端C的切线沿水平方向,从C点到地面之间是一悬崖峭壁,如图所示.已知AC间的高度差为h,运动员连同滑雪装备总质量为m,开始时运动员从A点由静止下滑,滑到C点后被水平抛出,运动员经过时间t落到了峭壁下面的水平地面上,不计空气阻力和雪道的摩擦阻力(重力加速度为g),求:
(1)运动员到达C点所受雪道的支持力的大小;
(2)运动员落地前瞬间的速度大小.
解析:(1)A到C及在C点受力如图,由动能定理及牛顿第二定律:
mgh=m
NC-mg=m
得C点处的支持力
NC=mg.
(2)离开C点后在空中做平抛运动,由平抛运动规律得:
vy=gt,v1=
得运动员落地前瞬间速度大小为v1=.
答案:(1)mg (2)
12.(2013广元市统考)如图所示,一个3/4圆弧形光滑细圆管轨迹ABC,放置在竖直平面内,轨迹半径为R,在A点与水平地面AD相接,地面与圆心O等高,MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子,左端M正好位于A点.现将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放,不考虑空气阻力.
(1)若小球从C点射出后恰好落到垫子的M端,则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何?
(2)欲使小球能通过C点落到垫子上,试计算小球离A点下落的最大高度H.
解析:(1)小球离开C点做平抛运动,落到M点时水平位移为R,竖直下落高度为R,根据运动学公式可得
R=gt2,R=v1t
解得小球下落的时间t=
小球从C点射出的速度v1==
设小球经过C点时受到管子对它的作用力为N,方向竖直向上
由向心力公式可得mg-N=m
解得:N=mg-m=mg
由牛顿第三定律知,小球对管的作用力大小为mg/2,方向竖直向下.
(2)根据机械能守恒定律,小球下降的高度越高,在C点小球获得的速度越大.要使小球落到垫子上,小球水平方向的运动位移应为R~4R,由于小球每次平抛运动的时间相同,速度越大,水平方向运动的距离越大,故应使小球在水平方向上运动的最大位移为4R,落到N点.设能够落到N点的水平速度为v2,
根据平抛运动得v2==
根据机械能守恒定律可知mg(H-R)=m
解得:H=+R=5R.
答案:(1) 竖直向下 (2)5R
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